Tabla
Tabla binomial
Para cualquier n y cualquier p, no solo los de la tabla del libro. Con las cuatro formas de la pregunta separadas, que es donde se pierde todo el mundo.
En verde, las barras que entran en P(X ≤ 5).
Las cuatro que se confunden
«Al menos 5» incluye a 5 y «más de 5» no. En una variable discreta esa diferencia vale exactamente P(X = 5) = 0,178863, que puede ser mucho. En una variable continua no existe, porque ahí P(X = k) es cero: por eso el error aparece recién al pasar a las discretas.
La tabla completa
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X > k) |
|---|---|---|---|
| 0,0008 | 0,0008 | 0,9992 | |
| 0,0068 | 0,0076 | 0,9924 | |
| 0,0278 | 0,0355 | 0,9645 | |
| 0,0716 | 0,1071 | 0,8929 | |
| 0,1304 | 0,2375 | 0,7625 | |
| 0,1789 | 0,4164 | 0,5836 | |
| 0,1916 | 0,6080 | 0,3920 | |
| 0,1643 | 0,7723 | 0,2277 | |
| 0,1144 | 0,8867 | 0,1133 | |
| 0,0654 | 0,9520 | 0,0480 | |
| 0,0308 | 0,9829 | 0,0171 | |
| 0,0120 | 0,9949 | 0,0051 | |
| 0,0039 | 0,9987 | 0,0013 | |
| 0,0010 | 0,9997 | 0,0003 | |
| 0,0002 | 0,9999+ | 0,0001− | |
| 0,0001− | 0,9999+ | 0,0001− | |
| 0,0001− | 0,9999+ | 0,0001− | |
| 0,0001− | 0,9999+ | 0,0001− | |
| 0,0001− | 0,9999+ | 0,0001− | |
| 0,0001− | 0,9999+ | 0,0001− | |
| 0,0001− | 0,9999+ | 0,0000 |
Media: 6,000 · Varianza: 4,200 · Desvío: 2,049
Cómo están calculados estos valores
- No son una tabla guardada. Cada número se calcula en el momento. La acumulada sale de la identidad entre la binomial y la beta incompleta —P(X ≤ k) = I con argumento 1−p—, que evita sumar término a término y mantiene la precisión con n grande. Por eso podés pedir cualquier valor, no solo los de la grilla.
- Precisión. El error relativo frente a SciPy es menor a 1e-11 en todo el rango, incluidas las colas, y hay un verificador que lo comprueba sobre miles de casos. Las tablas impresas traen cuatro decimales y se cortan mucho antes.
- Nada sale de tu navegador. El cálculo entero pasa en esta página.
Cuándo la binomial es el modelo correcto
Hacen falta cuatro condiciones, y las cuatro se incumplen seguido:
Cantidad fija de ensayos. Se decide n de antemano. Si se sigue muestreando hasta obtener cierto resultado, el modelo es otro.
Dos resultados posibles en cada ensayo, éxito o fracaso.
Probabilidad constante. La misma p en todos los ensayos.
Independencia. El resultado de uno no afecta a los demás. Es la que más se rompe: si se encuestan personas del mismo hogar o alumnos del mismo curso, las respuestas están correlacionadas y la binomial subestima la variabilidad.
Con o sin reposición
Sacar diez bolillas de una urna con reposición es binomial; sin reposición es hipergeométrica, porque la probabilidad cambia en cada extracción.
La aproximación binomial funciona bien cuando la muestra es chica frente a la población —menos del 5 %, la misma regla que para la corrección por población finita—. Encuestar a mil personas de un país entero es, a todos los efectos, con reposición; encuestar a treinta de un curso de cuarenta, no.
La aproximación normal
Con n grande, la binomial se parece a una normal de media np y varianza np(1−p). La regla habitual pide que np y n(1−p) superen 5 o 10.
Pero esta calculadora no la necesita: calcula la binomial exacta para cualquier n. La aproximación era una necesidad de la época en que había que sumar términos a mano, y sobrevive en los libros por inercia. Si podés calcular el valor exacto, calculalo.
Donde sí sigue importando es para entender de dónde salen las fórmulas de intervalos y pruebas para proporciones, que están construidas sobre esa aproximación.