Corrección por población finita

1 · Definición

El factor de corrección por población finita ajusta el error estándar cuando la muestra representa una fracción apreciable de la población:

$$EE_{\text{corregido}} = \frac{s}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$$

2 · Por qué existe

La fórmula habitual $s/\sqrt{n}$ supone que la población es infinita, o lo que es equivalente, que se muestrea con reposición: cada extracción no afecta a las siguientes.

En la realidad las poblaciones son finitas y se muestrea sin reposición. Si de 100 comercios relevás 90, apenas queda incertidumbre sobre el total: solo faltan 10. La fórmula sin corregir ignora ese hecho y sobreestima el error.

El factor lo arregla:

$$f = \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$$

• Si $n = N$ (censo), $f = 0$: no hay error muestral. Correcto.
• Si $n$ es muy chico frente a $N$, $f \approx 1$: no cambia nada.

3 · Cuánto cambia

$n/N$	Factor $f$	Reduce el error un
1 %	0,995	0,5 %
5 %	0,975	2,5 %
10 %	0,949	5,1 %
25 %	0,866	13,4 %
50 %	0,707	29,3 %
80 %	0,447	55,3 %

4 · Cuándo importa de verdad

En encuestas nacionales, nunca: la EPH releva unas decenas de miles de casos sobre millones de personas, así que $n/N$ es minúsculo y el factor es 1.

En una tesis, en cambio, importa seguido. Las poblaciones de un trabajo de grado suelen ser chicas y accesibles:

Situación	$n/N$	Factor	El intervalo se angosta
140 docentes, muestra de 60	43 %	0,759	24,1 %
500 comercios, muestra de 150	30 %	0,837	16,3 %
22 hospitales, muestra de 12	55 %	0,690	31,0 %

En los tres casos ignorar la corrección exagera el error y produce intervalos innecesariamente anchos. Y es una corrección que siempre juega a favor: los resultados quedan más precisos de lo que parecían.

5 · En poblaciones chicas no hay rendimientos decrecientes

Es la consecuencia menos conocida y la más útil para planificar. La ley de los rendimientos decrecientes dice que cada caso nuevo aporta menos que el anterior. Eso deja de valer cuando la población es finita. Con $N = 140$, el error cada veinte casos:

$n$	Error estándar	Baja respecto del tramo anterior
20	0,208 $s$	—
40	0,134 $s$	35,5 %
60	0,098 $s$	27,0 %
80	0,074 $s$	25,0 %
100	0,054 $s$	27,0 %
120	0,035 $s$	35,5 %
140	0	100 %

6 · También en el tamaño de muestra

El mismo razonamiento se aplica al calcular $n$. La fórmula corregida es:

$$n = \frac{n_0}{1 + \dfrac{n_0 - 1}{N}}$$

donde $n_0$ es el tamaño que daría la fórmula sin corregir, la de tamaño de muestra para una media o para una proporción.

El efecto es notable en poblaciones chicas. Para un margen de error de ± 5 % con 95 % de confianza, $n_0 = 385$. Pero:

$N$	$n$ necesario
∞	385
10.000	370
1.000	278
500	218
140	103

Con una población de 140 personas no hacen falta 385 casos —sería imposible—: alcanza con 103.

Ver tamaño de muestra con población finita.

7 · Errores frecuentes

• No aplicarlo en poblaciones chicas. Es lo más común en tesis, y produce intervalos más anchos de lo que corresponde.
• Aplicarlo en encuestas de población grande. No cambia nada y confunde.
• Confundir $N$ con el marco. $N$ es el tamaño de la población de referencia.
• Usarlo con muestreo no probabilístico. Si no hay probabilidades conocidas, no hay error muestral que corregir.
• Olvidarlo al calcular el tamaño y concluir que hacen falta más casos que la población entera.
• Creer que corrige el sesgo. Corrige el error aleatorio. Una muestra sesgada sigue estando sesgada.
• Aplicar la ley de rendimientos decrecientes en una población chica. Ahí el caso menos rentable es el que está en la mitad: pasada esa marca, cada uno vale más que el anterior.

8 · En el software

# R — el paquete survey lo aplica solo si se declara N
library(survey)
dis <- svydesign(ids = ~1, fpc = ~N_poblacion, data = datos)
svymean(~variable, dis)     # ya trae la corrección

# A mano
ee <- sd(x) / sqrt(n) * sqrt((N - n) / (N - 1))

Excel:    =DESVEST.M(rango)/RAIZ(n) * RAIZ((N-n)/(N-1))
SPSS:     Muestras complejas › Plan de análisis › Tamaño de la población

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