Distribución de Bernoulli

1 · Definición

Una variable de Bernoulli describe un experimento con dos resultados posibles, que por convención se llaman éxito (1) y fracaso (0):

$$P(X = 1) = p \qquad P(X = 0) = 1 - p$$

2 · Sus parámetros

Tiene uno solo: $p$, la probabilidad de éxito.

$$E(X) = p \qquad \text{Var}(X) = p\,(1-p)$$

La esperanza es la probabilidad misma, lo que tiene sentido: si se repite el experimento muchas veces, el promedio de los ceros y unos converge a la proporción de éxitos.

Y la varianza es máxima en $p = 0{,}5$ —la situación de máxima incertidumbre— y tiende a cero cuando $p$ se acerca a 0 o a 1. Es exactamente lo que explica por qué el tamaño de muestra es máximo con $p = 0{,}5$.

3 · “Éxito” no significa nada bueno

Es terminología, no valoración. En un estudio sobre mortalidad, “éxito” puede ser que el paciente muera; en uno sobre fallas, que la pieza se rompa.

Lo que sí importa es declarar cuál de los dos es el 1, porque todo lo demás —la proporción estimada, el odds ratio, el signo de un coeficiente de regresión— depende de esa codificación.

4 · Por qué es el ladrillo

Casi todo lo que sigue se construye con ensayos de Bernoulli:

Distribución	Qué cuenta
Binomial	Éxitos en $n$ ensayos
Geométrica	Ensayos hasta el primer éxito
Hipergeométrica	Éxitos en $n$ ensayos sin reposición

Y también toda la estadística de proporciones: una proporción muestral es el promedio de $n$ variables de Bernoulli, y por eso su distribución muestral sigue las mismas reglas que la de cualquier media.

5 · Dónde aparece en la práctica

Cualquier variable dicotómica es Bernoulli: tiene o no tiene cobertura de salud, completó o no el secundario, votó o no votó, la pieza pasa o no pasa el control.

En una base de datos se la codifica 1/0, y esa codificación no es arbitraria: permite que el promedio de la columna sea directamente la proporción.

sexo_femenino: 0, 1, 1, 0, 1  →  media = 0,6 = 60 % de mujeres

Es la razón por la que conviene codificar las dicotómicas como 0 y 1 y no como 1 y 2.

6 · Errores frecuentes

• Codificar 1/2 en lugar de 0/1. Con 1/2 el promedio no es la proporción y los coeficientes de regresión se vuelven difíciles de interpretar.
• No declarar cuál categoría es el éxito. Cambia el signo de todo.
• Creer que “éxito” implica un resultado deseable.
• Usarla con variables de tres o más categorías. Ahí va la multinomial, o se recodifica declarando el criterio.
• Olvidar que la varianza depende de $p$. A diferencia de la normal, acá la dispersión no es un parámetro libre: queda determinada por la media.

7 · En el software

# R — no tiene funciones propias: es una binomial con size = 1
dbinom(1, size = 1, prob = 0.3)     # 0.3
rbinom(10, size = 1, prob = 0.3)    # 10 ensayos de Bernoulli

# La proporción como promedio
mean(datos$tiene_cobertura)         # si está codificada 0/1

# Python
from scipy import stats
stats.bernoulli.pmf(1, p=0.3)
stats.bernoulli.rvs(0.3, size=10)

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