Distribución de Poisson

1 · Definición

La distribución de Poisson describe la cantidad de eventos que ocurren en un intervalo fijo de tiempo, espacio o volumen, cuando ocurren de manera independiente y a una tasa media constante:

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \, \lambda^{k}}{k!}$$

2 · Sus condiciones

1. Los eventos ocurren independientemente unos de otros.
2. La tasa media $\lambda$ es constante en el intervalo.
3. Dos eventos no pueden ocurrir exactamente en el mismo instante.
4. El conteo no tiene un máximo fijo: puede valer 0, 1, 2, … sin límite superior.

Esa última condición la distingue de la binomial, donde el máximo es $n$.

3 · Media igual a varianza

$$E(X) = \lambda \qquad \text{Var}(X) = \lambda$$

Es su firma y sirve como diagnóstico: si en un conjunto de conteos la varianza observada es mucho mayor que la media, los datos no son Poisson. Eso se llama sobredispersión y es lo que suele pasar en la realidad, porque la tasa no es igual para todas las unidades.

4 · Dónde aparece

Conteos de eventos poco frecuentes en un intervalo definido:

• Pacientes que llegan a una guardia por hora.
• Defectos por metro cuadrado de tela.
• Accidentes de tránsito por mes en una esquina.
• Llamadas a un centro de atención por minuto.
• Casos de una enfermedad rara por año en una región.

En todos, la unidad de observación es el intervalo, no el individuo: lo que se cuenta son eventos dentro de una ventana fija.

5 · Un ejemplo

Si a una guardia llegan en promedio 3 pacientes por hora:

$$P(X = 5) = \frac{e^{-3} \, 3^{5}}{5!} = 0{,}1008$$

$k$	$P(X = k)$
0	0,0498
1	0,1494
2	0,2240
3	0,2240
4	0,1680
5	0,1008
6 o más	0,0839

La probabilidad de que no llegue nadie en una hora es del 5 %, y la de que lleguen 6 o más, del 8,4 %.

Cuidado con la escala. $\lambda$ está atado al intervalo: si son 3 por hora, para media hora es $\lambda = 1{,}5$ y para un día es $\lambda = 72$. Cambiar el intervalo sin cambiar $\lambda$ es el error de planteo más frecuente.

6 · Como límite de la binomial

La Poisson aparece cuando la binomial tiene $n$ muy grande y $p$ muy chico, con $\lambda = n p$ moderado.

	Binomial	Poisson
Máximo	$n$	Sin límite
Parámetros	$n$ y $p$	Solo $\lambda$
Varianza	$np(1-p)$	$\lambda$

Cuando $p$ es chico, $(1-p) \approx 1$ y las dos varianzas coinciden. Por eso la aproximación funciona: la regla habitual es $n \ge 50$ y $p \le 0{,}1$.

Tiene sentido intuitivo: hay muchísimas oportunidades de que ocurra el evento y cada una es muy improbable. Es exactamente la situación de los eventos raros.

7 · Errores frecuentes

• No ajustar $\lambda$ al intervalo. Si cambia la ventana de tiempo, cambia $\lambda$.
• Usarla cuando la varianza es mucho mayor que la media. Hay sobredispersión: corresponde binomial negativa o un modelo con corrección.
• Usarla cuando hay un máximo posible. Si no puede haber más de $n$, es binomial.
• Usarla con eventos no independientes. Un contagio hace que un caso aumente la probabilidad del siguiente: ahí no vale.
• Confundir $\lambda$ con una probabilidad. Es una tasa media de conteo, y puede ser mayor que 1.
• Olvidar el factorial en el denominador.

8 · En el software

# R
dpois(5, lambda = 3)         # 0.1008
ppois(5, 3)                  # P(X ≤ 5)
1 - ppois(5, 3)              # P(X > 5)

# Diagnóstico de sobredispersión
mean(conteos); var(conteos)  # deberían parecerse

# Python
from scipy import stats
stats.poisson.pmf(5, mu=3)
stats.poisson.cdf(5, 3)

Excel:    =POISSON.DIST(5; 3; FALSO)       puntual
          =POISSON.DIST(5; 3; VERDADERO)   acumulada

@misc{estadistica_ar_distribucion_poisson,
  author       = {Montivero, Jorge Luis},
  title        = {{Distribución de Poisson}},
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  howpublished = {\url{https://estadistica.ar/conceptos/distribucion-poisson}},
  note         = {estadistica.ar. Consultado el \today},
  urldate      = {2026-09-18}
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