Distribución de Poisson

1 · Definición

La distribución de Poisson describe la cantidad de eventos que ocurren en un intervalo fijo de tiempo, espacio o volumen, cuando ocurren de manera independiente y a una tasa media constante:

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \, \lambda^{k}}{k!}$$

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2 · Sus condiciones

1. Los eventos ocurren independientemente unos de otros.
2. La tasa media $\lambda$ es constante en el intervalo.
3. Dos eventos no pueden ocurrir exactamente en el mismo instante.
4. El conteo no tiene un máximo fijo: puede valer 0, 1, 2, … sin límite superior.

Esa última condición la distingue de la binomial, donde el máximo es $n$.

3 · Media igual a varianza

$$E(X) = \lambda \qquad \text{Var}(X) = \lambda$$

Es su firma y sirve como diagnóstico: si en un conjunto de conteos la varianza observada es mucho mayor que la media, los datos no son Poisson. Eso se llama sobredispersión y es lo que suele pasar en la realidad, porque la tasa no es igual para todas las unidades.

Que la heterogeneidad de la tasa sea la causa se puede mostrar. Simulando 200.000 conteos con media 3, primero con una tasa fija y después dejando que $\lambda$ varíe entre unidades:

Cómo se generan	Media	Varianza	Var / media
$\lambda = 3$ para todos	3,00	3,00	1,00
$\lambda$ varía con desvío 0,5	3,00	3,25	1,08
$\lambda$ varía con desvío 1,0	3,00	3,99	1,33
$\lambda$ varía con desvío 2,0	3,00	7,03	2,34

4 · Dónde aparece

Conteos de eventos poco frecuentes en un intervalo definido:

• Pacientes que llegan a una guardia por hora.
• Defectos por metro cuadrado de tela.
• Accidentes de tránsito por mes en una esquina.
• Llamadas a un centro de atención por minuto.
• Casos de una enfermedad rara por año en una región.

En todos, la unidad de observación es el intervalo, no el individuo: lo que se cuenta son eventos dentro de una ventana fija.

5 · Un ejemplo

Si a una guardia llegan en promedio 3 pacientes por hora:

$$P(X = 5) = \frac{e^{-3} \, 3^{5}}{5!} = 0{,}1008$$

$k$	$P(X = k)$
0	0,0498
1	0,1494
2	0,2240
3	0,2240
4	0,1680
5	0,1008
6 o más	0,0839

La probabilidad de que no llegue nadie en una hora es del 5 %, y la de que lleguen 6 o más, del 8,4 %.

Cuidado con la escala. $\lambda$ está atado al intervalo: si son 3 por hora, para media hora es $\lambda = 1{,}5$ y para un día es $\lambda = 72$. Cambiar el intervalo sin cambiar $\lambda$ es el error de planteo más frecuente.

6 · Como límite de la binomial

La Poisson aparece cuando la binomial tiene $n$ muy grande y $p$ muy chico, con $\lambda = n p$ moderado.

	Binomial	Poisson
Máximo	$n$	Sin límite
Parámetros	$n$ y $p$	Solo $\lambda$
Varianza	$np(1-p)$	$\lambda$

Cuando $p$ es chico, $(1-p) \approx 1$ y las dos varianzas coinciden. Por eso la aproximación funciona: la regla habitual es $n \ge 50$ y $p \le 0{,}1$.

Tiene sentido intuitivo: hay muchísimas oportunidades de que ocurra el evento y cada una es muy improbable. Es exactamente la situación de los eventos raros.

7 · Por qué gobierna la precisión de las tasas

Un conteo de defunciones, de casos o de accidentes es Poisson, y de ahí sale el intervalo de confianza de cualquier tasa. Lo notable es que el intervalo depende solo de cuántos casos hubo, no del tamaño de la población:

Casos observados	Intervalo del 95 %	En porcentaje del valor
3	0,6 a 8,8	−79 % a +192 %
10	4,8 a 18,4	−52 % a +84 %
20	12,2 a 30,9	−39 % a +54 %
100	81,4 a 121,6	−19 % a +22 %

8 · El proceso de Poisson

La Poisson describe un intervalo. El proceso de Poisson describe la línea de tiempo entera: eventos que llegan de a uno, independientes entre sí, a una tasa constante $\lambda$. Se define por dos propiedades:

1. El conteo en cualquier intervalo de largo $t$ es Poisson de media $\lambda t$.
2. Los conteos en intervalos que no se superponen son independientes.

De ahí salen las otras dos distribuciones del proceso, que son preguntas sobre el tiempo en lugar del conteo:

Pregunta	Distribución
¿Cuántos eventos hay en un intervalo de largo $t$?	Poisson de media $\lambda t$
¿Cuánto se espera entre dos eventos seguidos?	Exponencial de tasa $\lambda$
¿Cuánto se espera hasta el evento $k$?	Gamma de forma $k$ y escala $1/\lambda$

Dos propiedades más lo vuelven muy cómodo para modelar:

• Superposición. Dos procesos de Poisson independientes, de tasas $\lambda_1$ y $\lambda_2$, forman juntos otro proceso de Poisson de tasa $\lambda_1 + \lambda_2$. Las guardias de dos hospitales, sumadas, siguen siendo Poisson.
• Separación. Si cada evento se clasifica al azar —con probabilidad $p$ es una urgencia—, las urgencias forman un proceso de Poisson de tasa $p\lambda$, y el resto otro, independiente, de tasa $(1-p)\lambda$.

9 · Errores frecuentes

• No ajustar $\lambda$ al intervalo. Si cambia la ventana de tiempo, cambia $\lambda$.
• Usarla cuando la varianza es mucho mayor que la media. Hay sobredispersión: corresponde binomial negativa o un modelo con corrección.
• Usarla cuando hay un máximo posible. Si no puede haber más de $n$, es binomial.
• Usarla con eventos no independientes. Un contagio hace que un caso aumente la probabilidad del siguiente: ahí no vale.
• Confundir $\lambda$ con una probabilidad. Es una tasa media de conteo, y puede ser mayor que 1.
• Olvidar el factorial en el denominador.

10 · En el software

# R
dpois(5, lambda = 3)         # 0.1008
ppois(5, 3)                  # P(X ≤ 5)
1 - ppois(5, 3)              # P(X > 5)

# Diagnóstico de sobredispersión: el cociente debería dar cerca de 1
var(conteos) / mean(conteos)

# El IC de una tasa, con k casos observados
k <- 20
c(qchisq(.025, 2 * k) / 2, qchisq(.975, 2 * k + 2) / 2)

# Python
from scipy import stats
stats.poisson.pmf(5, mu=3)
stats.poisson.cdf(5, 3)

Excel:    =POISSON.DIST(5; 3; FALSO)       puntual
          =POISSON.DIST(5; 3; VERDADERO)   acumulada

@misc{estadistica_ar_distribucion_poisson,
  author       = {Montivero, Jorge Luis},
  title        = {{Distribución de Poisson}},
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  howpublished = {\url{https://estadistica.ar/conceptos/distribucion-poisson}},
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