Aproximación normal a la binomial

1 · Definición

Cuando $n$ es grande, una binomial $B(n, p)$ se parece mucho a una normal con su misma media y su mismo desvío:

$$X \sim B(n,p) \;\approx\; N\!\left(np,\; \sqrt{np(1-p)}\right)$$

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2 · La condición

La regla más usada:

$$n\,p \ge 5 \qquad\text{y}\qquad n\,(1-p) \ge 5$$

Las dos, no una. El problema aparece cuando $p$ está cerca de 0 o de 1: ahí la binomial es muy asimétrica y la normal —simétrica— no la representa bien.

$n$	$p$	$np$	$n(1-p)$	¿Sirve?
100	0,30	30	70	Sí
30	0,50	15	15	Sí
40	0,05	2	38	No
1.000	0,002	2	998	No: usar Poisson

3 · Qué tan buena es, exactamente

La condición de la sección anterior contesta “sí” o “no”, pero no dice cuánto se erra. Se puede medir: para cada $(n, p)$, la mayor diferencia entre la acumulada binomial y la normal corregida, sobre todos los $k$ posibles.

$n$	$p$	$np$	Asimetría	Error máximo
10	0,50	5	0,000	0,0027
30	0,50	15	0,000	0,0009
100	0,30	30	0,087	0,0058
100	0,10	10	0,267	0,0175
25	0,20	5	0,300	0,0194
100	0,05	5	0,413	0,0267
1.000	0,005	5	0,444	0,0287

De hecho el error máximo resulta casi exactamente proporcional a la asimetría $\gamma$ de la binomial:

$$\text{error máx} \approx \frac{\varphi(0)}{6}\,\gamma = 0{,}0665\,\gamma$$ $$\gamma = \frac{1-2p}{\sqrt{n\,p(1-p)}}$$

En las filas de la tabla el cociente entre error y asimetría va de 0,0643 a 0,0665: la relación es sorprendentemente estable. La constante tampoco es arbitraria —es el primer término del desarrollo de Edgeworth, la corrección por asimetría que la normal no sabe hacer—.

4 · La corrección por continuidad

El problema de fondo: se está aproximando algo discreto con algo continuo. En la binomial, $X = 25$ es un valor con probabilidad propia; en la normal, un punto tiene probabilidad cero.

La solución es representar cada entero por el intervalo de media unidad a cada lado:

Se busca	Se calcula en la normal
$P(X \le k)$	$P(X \le k + 0{,}5)$
$P(X < k)$	$P(X \le k - 0{,}5)$
$P(X \ge k)$	$P(X \ge k - 0{,}5)$
$P(X > k)$	$P(X \ge k + 0{,}5)$
$P(X = k)$	$P(k - 0{,}5 \le X \le k + 0{,}5)$

El truco para no equivocarse: siempre se agranda el intervalo que incluye a $k$ cuando $k$ entra, y se achica cuando $k$ queda afuera.

5 · Un ejemplo con los tres resultados

Con $n = 100$ y $p = 0{,}30$, se busca $P(X \le 25)$. Media $np = 30$ y desvío $\sqrt{100 \times 0{,}3 \times 0{,}7} = 4{,}583$.

Método	$z$	Resultado
Binomial exacta	—	0,1631
Normal con corrección	$\frac{25{,}5-30}{4{,}583} = -0{,}982$	0,1631
Normal sin corrección	$\frac{25-30}{4{,}583} = -1{,}091$	0,1376

Con $n$ más chico se nota todavía más: para $B(20; 0{,}5)$, $P(X \le 8)$ vale 0,2517 exacto, 0,2512 con corrección y 0,1855 sin ella.

6 · En las colas el error cambia de naturaleza

El error que se midió en la sección 3 es absoluto, y su máximo cae cerca de la media. En las colas la diferencia absoluta es chica —no puede ser grande, si las dos probabilidades son chicas—, pero la relativa se dispara. Y las colas son justamente donde viven los valores p.

Con $B(100;\, 0{,}05)$, probando si aparecieron más casos de los esperados:

Observados	$P(X \ge k)$ exacta	Aproximada	Cociente
9	0,0631	0,0542	0,86
10	0,0282	0,0195	0,69
11	0,0115	0,0058	0,51
12	0,0043	0,0014	0,33
13	0,0015	0,0003	0,20

Del otro lado pasa lo contrario: $P(X \le 0)$ vale 0,0059 exacto contra 0,0195 aproximado, 3,3 veces más. La normal le sigue poniendo cola a la izquierda en una zona donde la binomial ya se terminó.

7 · Por qué importa más allá del ejercicio

Porque todo el trabajo con proporciones descansa en esto.

La proporción muestral $\hat{p} = X/n$ es una binomial dividida por una constante. Si la binomial es aproximadamente normal, $\hat{p}$ también lo es:

$$\hat{p} \approx N\!\left(p, \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)$$

De ahí sale el intervalo de confianza para la proporción, la prueba z para proporciones y las condiciones de validez de las dos —que son, justamente, las de esta sección—.

8 · Errores frecuentes

• Olvidar la corrección por continuidad. El error más común y el más costoso.
• Aplicarla con el signo cambiado. Sumar cuando había que restar da un resultado peor que no corregir.
• Verificar una sola condición. Con $p = 0{,}002$ y $n = 1.000$, $n(1-p)$ es enorme pero $np = 2$ y la aproximación no sirve.
• Creer que $np \ge 5$ garantiza un buen resultado. Garantiza un error de hasta 0,03, que no es poco. Lo que decide es la asimetría.
• Usar la aproximación para un valor p chico. Es donde peor anda, y siempre a favor de rechazar.
• Usarla cuando corresponde Poisson. Con $n$ grande y $p$ muy chico, la Poisson aproxima mejor.
• Usar la aproximación pudiendo calcular lo exacto. pbinom no cuesta nada.
• Corregir cuando se trabaja con proporciones continuas. La corrección es para conteos enteros.

9 · En el software

# R — la exacta, que es lo que conviene usar
pbinom(25, 100, 0.3)                    # 0.1631

# La aproximación, con y sin corrección
pnorm(25.5, 30, sqrt(100*0.3*0.7))      # 0.1631
pnorm(25,   30, sqrt(100*0.3*0.7))      # 0.1376

# El error máximo de la sección 3, para cualquier (n, p)
n <- 100; p <- 0.05; k <- 0:n
max(abs(pbinom(k, n, p) - pnorm(k + 0.5, n*p, sqrt(n*p*(1-p)))))   # 0.0267
0.0665 * (1 - 2*p) / sqrt(n*p*(1-p))                               # 0.0275

# Python
from scipy import stats
import numpy as np
stats.binom.cdf(25, 100, 0.3)                    # 0.1631
stats.norm.cdf(25.5, 30, np.sqrt(100*0.3*0.7))   # 0.1631

Excel:    =DISTR.BINOM.N(25; 100; 0,3; VERDADERO)
          =DISTR.NORM.N(25,5; 30; 4,5826; VERDADERO)

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