Normal estándar y tipificación

1 · Definición

La normal estándar es la distribución normal con media 0 y desvío estándar 1. Se la anota $Z \sim N(0, 1)$.

Tipificar es transformar cualquier normal en ella:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

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2 · Para qué sirve

Porque hay infinitas normales —una por cada par $(\mu, \sigma)$— y sería imposible tener una tabla para cada una.

Tipificando, todas las probabilidades de cualquier normal se calculan con una sola tabla:

$$P(X \le a) = P\!\left(Z \le \frac{a - \mu}{\sigma}\right)$$

Hoy el software lo hace directo, pero la idea sigue siendo la que ordena todo el tema, y los valores críticos famosos —1,96, 1,645, 2,576— son valores de $Z$.

3 · El procedimiento

Paso 1. Escribí la probabilidad buscada en términos de $X$.

Paso 2. Restá la media y dividí por el desvío, en los dos lados de la desigualdad.

Paso 3. Buscá el valor en la tabla de $Z$ o pedíselo al software.

Paso 4. Ajustá si la pregunta es por derecha o por un intervalo, usando la acumulada.

4 · Un ejemplo

Supongamos que una variable se distribuye $N(170; 10)$.

¿Cuál es la probabilidad de no superar 180?

$$Z = \frac{180 - 170}{10} = 1{,}00$$ $$P(Z \le 1) = 0{,}8413$$

¿Y de estar entre 160 y 185?

$$Z_1 = \frac{160-170}{10} = -1{,}00$$ $$Z_2 = \frac{185-170}{10} = 1{,}50$$

Restando las dos acumuladas, $0{,}9332 - 0{,}1587$:

$$P(-1 < Z < 1{,}5) = 0{,}7745$$

¿Qué valor deja por debajo al 95 %? Se recorre al revés: el valor de $Z$ que deja 95 % es 1,645, así que

$$x = \mu + z\,\sigma = 170 + 1{,}645 \times 10 = 186{,}5$$

5 · La simetría, que ahorra la mitad de la tabla

Muchas tablas impresas solo traen valores positivos de $Z$. La simetría resuelve el resto:

$$P(Z \le -a) = 1 - P(Z \le a)$$ $$P(Z > a) = 1 - P(Z \le a)$$

6 · Tipificar no normaliza

Es la confusión que produce el nombre “estandarizar”. Tipificar es una transformación lineal, y las transformaciones lineales no cambian la forma. Con el ingreso de la EPH, antes y después:

	Media	Desvío	Asimetría	Curtosis
Ingreso	990.201	1.003.821	10,21	267,3
Ingreso tipificado	0,00	1,00	10,21	267,3

7 · Los valores que conviene tener memorizados

$z$	$P(Z \le z)$	Se usa para
1,282	0,900	IC del 80 %
1,645	0,950	IC del 90 % · prueba unilateral al 5 %
1,960	0,975	IC del 95 %
2,326	0,990	IC del 98 %
2,576	0,995	IC del 99 %

El 1,96 es el que más aparece en todo el sitio, y ahora se ve de dónde sale: es el valor que deja 2,5 % en cada cola.

8 · Errores frecuentes

• No mirar qué área tabula la tabla.
• Olvidar dividir por $\sigma$. Restar la media sola no tipifica.
• Confundir $\sigma$ con $\sigma^2$. En la fórmula va el desvío, no la varianza. Es un error de cálculo muy frecuente.
• Buscar $P(X = a)$. En una continua es cero.
• Usar $z$ cuando corresponde $t$. Con $\sigma$ desconocida y muestra chica va la distribución t.
• Creer que tipificar normaliza. Tipificar una variable asimétrica da una variable asimétrica con media 0 y desvío 1.
• Perder el signo. Un $z$ negativo está por debajo de la media.

9 · En el software

# R — no hace falta tipificar: las funciones aceptan media y desvío
pnorm(180, mean = 170, sd = 10)     # 0.8413
pnorm(1)                            # lo mismo, ya tipificado

qnorm(0.95)                         # 1.645
qnorm(0.95, 170, 10)                # 186.45

# Python
from scipy import stats
stats.norm.cdf(180, 170, 10)
stats.norm.ppf(0.95, 170, 10)

Excel:    =DISTR.NORM.ESTAND.N(1; VERDADERO)     con Z
          =DISTR.NORM.N(180; 170; 10; VERDADERO) sin tipificar
          =NORMALIZACION(180; 170; 10)           devuelve el z

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