Región crítica y valor crítico

1 · Definición

La región crítica —o zona de rechazo— es el conjunto de valores del estadístico de prueba que llevan a rechazar $H_0$.

El valor crítico es su frontera: el valor que separa la zona de rechazo de la de no rechazo.

2 · El estadístico de prueba

Para decidir no se compara la muestra entera con la región crítica, sino un solo número que la resume: el estadístico de prueba. Se calcula con los datos, y se construye de manera que, si $H_0$ es cierta, tenga una distribución conocida —normal, t, chi-cuadrado o F—. Eso es lo que permite saber qué valores serían raros bajo la nula y, por lo tanto, dónde poner la región crítica.

La mayoría de las pruebas del curso lo arman con la misma estructura:

$$\text{estadístico} = \frac{\text{estimador} - \text{valor bajo } H_0}{\text{error estándar del estimador}}$$

Mide cuántos errores estándar separan lo observado de lo que la nula afirmaba. Un valor de 2 significa “dos errores estándar más allá”: lejos, si la distribución es aproximadamente normal.

Con esa estandarización, todas las pruebas de un mismo tipo se comparan contra la misma tabla. Los estadísticos que más aparecen:

Estadístico	Se usa para	Distribución bajo $H_0$
$z$	Media con σ conocido, una o dos proporciones	Normal
$t$	Una media, dos medias, datos pareados	t de Student
$\chi^2$	Independencia, bondad de ajuste	Chi-cuadrado
$F$	ANOVA, comparar dos varianzas	F de Fisher

Los dos últimos no tienen la forma de cociente de arriba, porque comparan sumas de cuadrados, pero cumplen la misma función: medir cuánto se aparta lo observado de lo que la nula predice.

3 · Dónde se ubica la región

Depende de la alternativa:

$H_1$	Región crítica	Valor crítico ($\alpha = 0{,}05$, normal)
$\mu \ne \mu_0$	las dos colas, $\alpha/2$ en cada una	$\pm 1{,}960$
$\mu > \mu_0$	cola derecha	$+1{,}645$
$\mu < \mu_0$	cola izquierda	$-1{,}645$

Ver pruebas unilaterales y bilaterales para saber cuál elegir.

4 · Un ejemplo completo

¿El ingreso medio difiere de $1.000.000? Con $n = 15.448$, media $990.201 y $s = 1.003.821$:

1. $H_0: \mu = 1.000.000$ contra $H_1: \mu \ne 1.000.000$.

2. $\alpha = 0{,}05$, bilateral. Valores críticos: $\pm 1{,}960$ —con 15.447 grados de libertad la t es indistinguible de la normal—.

3. Error estándar: $1.003.821/\sqrt{15.448} = 8.076$.

4. Estadístico:

$$t = \frac{990.201 - 1.000.000}{8.076} = -1{,}21$$

5. Como $-1{,}21$ no cae en la región crítica —está entre $-1{,}96$ y $+1{,}96$—, no se rechaza $H_0$.

La diferencia de $9.799 equivale a 1,21 errores estándar: perfectamente compatible con el azar del muestreo.

5 · Los tres caminos dan lo mismo

Hay tres maneras equivalentes de decidir, y conviene ver que son la misma:

Camino	Se rechaza si	En el ejemplo
Valor crítico	$\|t\| > 1{,}96$	1,21 < 1,96 → no
Valor p	$p < \alpha$	0,225 > 0,05 → no
Intervalo de confianza	$\mu_0$ fuera del IC	$1.000.000 está dentro de $974.370–$1.006.032 → no

6 · Cuando la región no puede valer exactamente $\alpha$

La definición de la sección 1 —que la región tenga probabilidad exactamente $\alpha$— se cumple con distribuciones continuas. Con datos discretos es imposible: la probabilidad salta de a escalones y hay que conformarse con el escalón que quede por debajo.

Prueba binomial bilateral con $n = 20$ y $p_0 = 0{,}5$:

Región crítica	$\alpha$ real
$k \le 4$ o $k \ge 16$	0,0118
$k \le 5$ o $k \ge 15$	0,0414
$k \le 6$ o $k \ge 14$	0,1153

7 · Ventajas y límites de cada uno

El valor crítico exige elegir $\alpha$ de antemano, cosa que es una virtud —obliga a comprometerse— pero solo informa “sí o no”.

El valor p informa cuán lejos quedó el resultado, y deja que cada lector aplique su propio umbral.

El intervalo es el que más informa: da la magnitud y la precisión, no solo la decisión. Cuando hay que elegir uno solo para publicar, es este.

8 · Errores frecuentes

• Usar el crítico unilateral en una prueba bilateral.
• Olvidar el valor absoluto en la comparación bilateral. Un $t = -2{,}5$ cae en la región crítica.
• Buscar el crítico en la columna equivocada de la tabla: para bilateral al 5 % se busca el cuantil 0,975, o sea $1 - \alpha/2$.
• Equivocar los grados de libertad.
• Comparar el estadístico con $\alpha$ o el valor p con el valor crítico. Son escalas distintas.
• Definir la región después de ver el estadístico.
• Suponer que la región vale exactamente $\alpha$ con datos discretos. En una binomial con $n = 20$, el $\alpha$ real de la prueba al 5 % es 0,0414.

9 · En el software

# R — valores críticos
qnorm(0.975)            # 1.960  bilateral, alfa = 0.05
qnorm(0.95)             # 1.645  unilateral
qt(0.975, df = 15447)   # 1.960  prácticamente igual

# El estadístico, a mano
(990201 - 1000000) / (1003821 / sqrt(15448))     # -1.213

# Python
from scipy import stats
stats.norm.ppf(0.975)          # 1.960
stats.t.ppf(0.975, 15447)      # 1.960

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