Distribución F

1 · Definición

La distribución F es la del cociente de dos chi-cuadrado independientes, cada una dividida por sus grados de libertad:

$$F = \frac{\chi^{2}_{\nu_1}/\nu_1}{\chi^{2}_{\nu_2}/\nu_2}$$

Equivalentemente, es la distribución del cociente de dos varianzas muestrales de poblaciones normales con la misma varianza:

$$F = \frac{s_1^{2}}{s_2^{2}}$$

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2 · Sus propiedades

Solo positiva y asimétrica a la derecha, como la chi-cuadrado de la que proviene.

Centrada cerca de 1. Si las dos varianzas estiman lo mismo, el cociente ronda

1. Su media exacta es

$$E(F) = \frac{\nu_2}{\nu_2 - 2} \quad \text{para } \nu_2 > 2$$

que se acerca a 1 cuando $\nu_2$ crece.

Recíproca: $1/F_{\nu_1,\nu_2}$ se distribuye $F_{\nu_2,\nu_1}$. Es la propiedad que permitía a las tablas impresas traer solo la cola derecha.

Relación con la t: $t^{2}_{\nu} = F_{1,\nu}$. Se comprueba enseguida: $t^2_{10}$ al 97,5 % es $2{,}228^2 = 4{,}965$, que es exactamente $F_{1,10}$ al 95 %. Por eso una prueba t de dos grupos y un ANOVA de dos grupos dan siempre el mismo valor p.

3 · Los valores críticos

$\nu_1$ (num.)	$\nu_2$ (den.)	$F_{0{,}95}$
1	10	4,965
2	20	3,493
3	30	2,922
5	20	2,711
10	10	2,978

Las tablas de F son las más incómodas de todas: hacen falta dos entradas y una tabla completa por cada nivel de significación. Es el caso donde el software más se agradece.

La tabla anterior no deja ver el patrón, porque mezcla los dos parámetros. Con los dos abiertos, el crítico al 95 %:

	$\nu_2 = 5$	10	20	50	200
$\nu_1 = 1$	6,608	4,965	4,351	4,034	3,888
$\nu_1 = 2$	5,786	4,103	3,493	3,183	3,041
$\nu_1 = 3$	5,409	3,708	3,098	2,790	2,650
$\nu_1 = 5$	5,050	3,326	2,711	2,400	2,259
$\nu_1 = 10$	4,735	2,978	2,348	2,026	1,878
$\nu_1 = 20$	4,558	2,774	2,124	1,784	1,623

4 · Dónde se usa

ANOVA. Es su uso principal. El estadístico

$$F = \frac{\text{varianza entre grupos}}{\text{varianza dentro de los grupos}}$$

compara cuánto se separan las medias de los grupos frente a cuánto varían los datos adentro de cada uno. Si los grupos no difieren, las dos varianzas estiman lo mismo y $F$ ronda 1; si difieren, el numerador crece.

Comparación de dos varianzas. La prueba de homogeneidad de varianzas más simple es un cociente $s_1^2/s_2^2$, aunque en la práctica se prefiere Levene por ser menos sensible a la falta de normalidad.

Regresión múltiple. El F global contrasta si el modelo completo explica algo, y el F parcial compara dos modelos anidados.

5 · Por qué el F no sirve para comparar varianzas

La sección anterior dice que para comparar varianzas “se prefiere Levene por ser menos sensible a la falta de normalidad”. La diferencia no es de grado.

Simulando 100.000 pares de grupos con exactamente la misma varianza —o sea donde rechazar es siempre un error— y probando al 5 %:

Población	Curtosis en exceso	$n$	Prueba F	Levene
Normal	0,0	20	4,99 %	4,10 %
Normal	0,0	100	5,07 %	4,83 %
Uniforme	−1,2	100	0,24 %	4,41 %
t de 5 gl	6,0	100	21,78 %	4,90 %
Exponencial	6,0	100	30,97 %	5,06 %
Lognormal	110,9	100	60,20 %	4,44 %

El mecanismo es el mismo que el del intervalo para la varianza, y el nivel al que converge sale de la misma fórmula, con $\gamma_2$ la curtosis en exceso de la población:

$$\text{nivel} \;\to\; 2\left[1 - \Phi\!\left(1{,}96\sqrt{\tfrac{2}{2+\gamma_2}}\right)\right]$$

que predice 0,19 % para la uniforme, 5,00 % para la normal, 32,71 % para la exponencial y 79,42 % para la lognormal. La simulación con $n = 100$ va camino a esos valores; con colas pesadas la convergencia es lenta.

6 · Errores frecuentes

• Invertir los grados de libertad. El del numerador va primero y no es intercambiable.
• Hacerla bilateral en un ANOVA. Es unilateral por derecha.
• Concluir cuáles grupos difieren. El F solo dice que al menos dos difieren; identificarlos requiere comparaciones múltiples.
• Usar el F de varianzas con datos no normales. Con lognormales y cien casos por grupo el nivel real es del 60 %. Va Levene con la mediana.
• Creer que más datos arreglan esa prueba. La empeoran.
• Extender esa desconfianza al ANOVA. El ANOVA compara medias y es bastante robusto; el problema es exclusivo del F sobre varianzas.
• Confundir la varianza entre con la varianza dentro.
• Reportar solo el F. Sin el tamaño del efecto —$\eta^2$ o $\omega^2$— el resultado dice poco.

7 · En el software

# R
qf(0.95, df1 = 3, df2 = 30)     # 2.922
pf(4.5, 3, 30, lower.tail = FALSE)   # valor p

var.test(x, y)                  # cociente de varianzas: ojo con la sección 5
car::leveneTest(y ~ grupo)      # lo que conviene usar en su lugar
summary(aov(y ~ grupo))         # ANOVA

# Python
from scipy import stats
stats.f.ppf(0.95, dfn=3, dfd=30)     # 2.922
stats.f_oneway(g1, g2, g3)

Excel:    =INV.F.CD(0,05; 3; 30)      valor crítico
          =DISTR.F.CD(4,5; 3; 30)     valor p
          Datos › Análisis de datos › Análisis de varianza
SPSS:     Analizar › Comparar medias › ANOVA de un factor

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