El p-valor

1 · Definición

El valor p es la probabilidad de obtener un resultado al menos tan extremo como el observado, suponiendo que la hipótesis nula es cierta.

$$p = P(\text{resultado tan o más extremo} \mid H_0 \text{ cierta})$$

Dicho de manera menos formal: el valor p responde a la pregunta “si en realidad no pasara nada, ¿qué tan raro sería encontrar lo que encontré?”. Si la respuesta es “muy raro” —un valor p chico—, hay motivos para dudar de que no pase nada. Si es “bastante común” —un valor p grande—, los datos no alcanzan para descartarlo.

2 · Qué mide

La compatibilidad entre los datos y la hipótesis nula.

• Valor p chico: datos poco compatibles con $H_0$. O la nula es falsa, o ocurrió algo raro.
• Valor p grande: datos compatibles con $H_0$. Lo cual no la confirma: también son compatibles con muchos otros valores.

La decisión es directa: se rechaza $H_0$ si $p < \alpha$.

3 · Cómo se calcula

Es el área de la cola —o de las dos colas— más allá del estadístico observado, en la distribución que corresponda bajo $H_0$.

$H_1$	Valor p
Bilateral	$2 \times P(T > \|t_{obs}\|)$
Cola derecha	$P(T > t_{obs})$
Cola izquierda	$P(T < t_{obs})$

El factor 2 de la bilateral existe porque “tan extremo” incluye los dos sentidos: un apartamiento igual de grande hacia el otro lado también contaría.

4 · Dos ejemplos con los mismos datos

Prueba que no rechaza. ¿La media difiere de $1.000.000?

$$t = -1{,}21 \quad\Rightarrow\quad p = 0{,}225$$

Si la media poblacional fuera exactamente $1.000.000, en el 22,5 % de las muestras de este tamaño se vería un apartamiento igual o mayor. Es habitual: no hay evidencia contra $H_0$.

Prueba que rechaza. ¿Difiere el ingreso por sexo?

$$t = 18{,}76 \quad\Rightarrow\quad p < 0{,}001$$

Si no hubiera diferencia poblacional, una brecha de $291.750 en muestras de este tamaño sería extraordinariamente improbable. Se rechaza $H_0$.

5 · Cómo se reporta

Con el valor exacto, no como desigualdad, salvo que sea muy chico:

✗ p < 0,05
✓ p = 0,023
✓ p < 0,001    (solo cuando es realmente menor)

Con tres decimales, y sin el cero a la izquierda en las normas que lo piden —APA escribe p = .023—.

Acompañado siempre del estadístico con sus grados de libertad, del tamaño del efecto y del intervalo de confianza:

La diferencia de ingresos por sexo fue de $291.750 (IC 95 %: $261.268 a $322.232), $t(14.760) = 18{,}76$, $p < 0{,}001$, $d = 0{,}29$.

6 · Su comportamiento bajo la nula

El valor p se calcula con una muestra, así que es una variable aleatoria: otra muestra daría otro valor p. Conviene preguntarse, entonces, qué valores toma cuando la nula es cierta. Si se repitiera el estudio muchas veces en una población donde $H_0$ es verdadera —donde la media es exactamente $1.000.000, por ejemplo— y se calculara el valor p de cada muestra, ¿cómo se repartirían?

La respuesta es que se distribuyen de manera uniforme entre 0 y 1: ningún valor es más frecuente que otro. Un valor p entre 0 y 0,05 aparece en el 5 % de las muestras, igual que uno entre 0,70 y 0,75. Con la nula cierta, un $p = 0{,}03$ es exactamente igual de probable que un $p = 0{,}73$.

Sale de la propia definición. El valor p es la proporción de resultados al menos tan extremos como el observado; si la nula es cierta, el resultado observado es uno más de esa distribución, y la probabilidad de que caiga entre el 5 % más extremo es justamente 5 %; entre el 10 % más extremo, 10 %, y así con cualquier umbral.

Está comprobado con cien mil simulaciones en distribución uniforme, donde cada umbral deja por debajo exactamente su propia proporción.

7 · Y su comportamiento cuando el efecto existe

Es la otra mitad, y la que explica por qué dos estudios del mismo fenómeno pueden dar valores p tan distintos. Simulando 200.000 réplicas de un efecto real de 0,30 desvíos, con distintos tamaños de muestra:

Potencia	Casos por grupo	$p$ mediano	El 95 % de los $p$ cae entre
0,35	57	0,111	0,0004 y 0,910
0,50	87	0,049	0,0001 y 0,828
0,80	176	0,005	$2 \times 10^{-6}$ y 0,401
0,95	290	0,0003	$3 \times 10^{-8}$ y 0,098

8 · Errores frecuentes

• Leerlo como la probabilidad de que $H_0$ sea cierta. Es la condicional inversa. Ver lo que el valor p no dice.
• Creer que mide el tamaño del efecto. Depende del efecto y del $n$.
• Reportar solo “significativo”.
• Tratar 0,049 y 0,051 como cosas distintas.
• Comparar los valores p de dos estudios. Con potencia del 50 %, repetir el mismo experimento da valores p entre 0,0001 y 0,83. Lo comparable son los tamaños del efecto.
• Escribir $p = 0{,}000$. Ningún valor p es exactamente cero: se escribe $p < 0{,}001$.
• Olvidar que el valor p supone que todo lo demás del modelo está bien. Si el muestreo fue sesgado o las observaciones no son independientes, el número no significa nada.

9 · En el software

# R — casi toda salida lo trae
t.test(x, mu = 1000000)          # p-value = 0.2250
t.test(ingreso ~ sexo)           # p-value < 2.2e-16

# A mano, desde el estadístico
2 * pt(-abs(-1.2133), df = 15447)    # 0.2250

# Python
from scipy import stats
t, p = stats.ttest_1samp(x, 1000000)
2 * stats.t.sf(abs(t), df=len(x)-1)

Excel:    =DISTR.T.2C(ABS(t); gl)     bilateral
SPSS:     la columna "Sig. (bilateral)"

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