Distribución chi-cuadrado

1 · Definición

La distribución chi-cuadrado con $\nu$ grados de libertad es la distribución de la suma de $\nu$ normales estándar independientes elevadas al cuadrado:

$$\chi^{2}_{\nu} = Z_1^{2} + Z_2^{2} + \dots + Z_{\nu}^{2}$$

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2 · Sus propiedades

Solo toma valores positivos. Son cuadrados sumados: no puede dar negativo.

Es asimétrica a la derecha, mucho cuando $\nu$ es chico, cada vez menos a medida que crece. La asimetría vale exactamente $\sqrt{8/\nu}$, y baja despacio: 2,83 con un grado de libertad, 1,26 con 5, 0,89 con 10, 0,52 con 30 y todavía 0,28 con 100.

Media y varianza:

$$E(\chi^{2}_{\nu}) = \nu \qquad \text{Var}(\chi^{2}_{\nu}) = 2\nu$$

La media es directamente el número de grados de libertad: es la referencia más útil para saber si un valor observado es grande o chico.

Es aditiva: la suma de dos chi-cuadrado independientes es chi-cuadrado, con los grados de libertad sumados.

Tiende a normal cuando $\nu$ crece, aunque lentamente.

3 · Los valores críticos

$\nu$	$\chi^{2}_{0{,}025}$	$\chi^{2}_{0{,}95}$	$\chi^{2}_{0{,}975}$
1	0,001	3,841	5,024
2	0,051	5,991	7,378
5	0,831	11,070	12,833
10	3,247	18,307	20,483
20	9,591	31,410	34,170
30	16,791	43,773	46,979

El más conocido es 3,841 con 1 grado de libertad, que aparece en toda tabla 2×2 y no es casualidad: $3{,}841 = 1{,}96^{2}$.

4 · Sus dos usos, que parecen distintos

Sobre varianzas. Si la población es normal,

$$\frac{(n-1)\,s^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}_{n-1}$$

De ahí sale el IC para la varianza y la prueba sobre una varianza. Es el uso donde la normalidad es crítica: a diferencia de la media, acá una muestra grande no salva el incumplimiento del supuesto.

Sobre frecuencias. En una tabla de contingencia,

$$\chi^{2} = \sum \frac{(O - E)^{2}}{E}$$

que se distribuye aproximadamente chi-cuadrado si las frecuencias esperadas no son muy chicas. Es la base de la prueba de independencia y de la de bondad de ajuste.

5 · Los grados de libertad, caso por caso

Uso	$\nu$
Varianza de una muestra	$n - 1$
Bondad de ajuste	$k - 1 - m$ (categorías menos parámetros estimados)
Tabla de contingencia $f \times c$	$(f-1)(c-1)$

En la tabla de contingencia se ve bien la idea: fijados los totales de filas y columnas, una vez completadas $(f-1)(c-1)$ celdas todas las demás quedan determinadas.

6 · Por qué acá la normalidad no se puede relajar

Es la afirmación más fuerte de la entrada, así que conviene mostrarla. Se simulan 200.000 muestras de cada distribución, se arma con la fórmula de la sección 4 el intervalo del 95 % para la varianza y se cuenta cuántas veces contiene a la varianza verdadera. Al lado, y con las mismas muestras, la cobertura del intervalo $t$ para la media:

Distribución	$n$	IC de la varianza	IC de la media
Normal	20	94,98 %	95,01 %
Normal	100	94,99 %	95,04 %
Normal	1.000	94,83 %	94,98 %
Exponencial	20	73,08 %	91,75 %
Exponencial	100	69,04 %	94,17 %
Exponencial	1.000	67,44 %	94,96 %
Uniforme	20	99,59 %	94,90 %
Uniforme	1.000	99,82 %	95,22 %

El nivel real al que converge depende de una sola característica de la población, su curtosis en exceso $\gamma_2$:

$$\text{nivel real} \;\to\; 2\,\Phi\!\left(1{,}96\sqrt{\tfrac{2}{2+\gamma_2}}\right) - 1$$

Distribución	$\gamma_2$	Nivel predicho	Simulado con $n = 1.000$
Uniforme	−1,2	99,81 %	99,82 %
Normal	0	95,00 %	94,83 %
Exponencial	6	67,29 %	67,44 %

7 · “Tiende a normal”, pero muy lentamente

La propiedad aparece en toda la bibliografía y suele leerse como “con $\nu$ grande se puede usar la normal”. Cuánto se pierde al hacerlo, en el cuantil 0,95:

$\nu$	Exacto	Normal $N(\nu,\, 2\nu)$	Error
5	11,070	10,201	−7,9 %
10	18,307	17,356	−5,2 %
30	43,773	42,741	−2,4 %
100	124,342	123,262	−0,9 %

En el cuantil 0,99 es peor todavía: −18,1 % con $\nu = 5$ y aún −2,1 % con $\nu = 100$.

Lo que sí funciona es transformar. La raíz cúbica de $\chi^2/\nu$ es casi perfectamente normal —es la aproximación de Wilson–Hilferty—:

$$\chi^{2}_{\nu} \approx \nu\left(1 - \frac{2}{9\nu} + z\sqrt{\frac{2}{9\nu}}\right)^{3}$$

$\nu$	Exacto (0,95)	Wilson–Hilferty	Error
5	11,070	11,044	−0,24 %
10	18,307	18,292	−0,08 %
30	43,773	43,767	−0,01 %
100	124,342	124,340	−0,002 %

8 · Errores frecuentes

• Esperar valores negativos. Si un cálculo de $\chi^{2}$ da negativo, hay un error de cuenta.
• Hacerla bilateral en una prueba de independencia. Es unilateral por derecha.
• Errar los grados de libertad en la tabla. Son $(f-1)(c-1)$, no $f \times c$ ni $n-1$.
• Usarla con frecuencias esperadas muy chicas. La regla habitual pide que todas superen 5 —o al menos el 80 % de las celdas—. Si no, va la prueba exacta de Fisher.
• Usar frecuencias relativas en vez de absolutas. El estadístico depende del tamaño de la muestra: calcularlo sobre porcentajes lo distorsiona por completo.
• Confundir significación con magnitud. Un $\chi^{2}$ grande con $n$ grande puede corresponder a una asociación trivial: hay que mirar la V de Cramér.
• Usarla sobre varianzas con datos no normales. Acá el supuesto no se puede relajar: con datos exponenciales el intervalo del 95 % cubre el 67 %.
• Creer que $n$ grande arregla el IC para la varianza. Lo empeora.
• Aproximarla con una normal $N(\nu, 2\nu)$. Con 100 grados de libertad todavía erra casi un 1 % en el cuantil 0,95, siempre hacia rechazar de más.

9 · En el software

# R
qchisq(0.95, df = 1)       # 3.841  valor crítico
pchisq(3.841, df = 1)      # 0.95
1 - pchisq(x, df)          # valor p

chisq.test(tabla)          # la prueba completa

# La cobertura de la sección 6, en cuatro líneas
n <- 100; s2 <- replicate(2e5, var(rexp(n)))
lo <- (n-1)*s2/qchisq(0.975, n-1); hi <- (n-1)*s2/qchisq(0.025, n-1)
mean(lo <= 1 & 1 <= hi)    # ≈ 0.69, no 0.95

# Python
from scipy import stats
stats.chi2.ppf(0.95, df=1)          # 3.841
stats.chi2_contingency(tabla)

Excel:    =INV.CHICUAD.CD(0,05; 1)     valor crítico
          =DISTR.CHICUAD.CD(3,841; 1)  valor p
SPSS:     Analizar › Estadísticos descriptivos › Tablas cruzadas › Chi-cuadrado

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