Distribución t de Student

1 · Definición

La distribución t de Student es la distribución del estadístico

$$t = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}$$

cuando la población es normal y $\sigma$ se estima con $s$. Tiene un solo parámetro: los grados de libertad, que en este caso valen $n - 1$.

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2 · Por qué existe

Si se conociera $\sigma$, el cociente sería exactamente normal estándar. Pero $\sigma$ casi nunca se conoce, así que se usa $s$ —que cambia con cada muestra—.

Eso agrega una segunda fuente de variabilidad: hay incertidumbre arriba y abajo de la fracción. El resultado es una distribución con más probabilidad en los extremos que la normal.

Usar $z$ cuando corresponde $t$ subestima esa incertidumbre y produce intervalos demasiado angostos y valores p demasiado chicos.

3 · Su forma

Comparte con la normal la simetría, la forma de campana y el centro en cero. Se diferencia en que es más baja en el medio y más alta en las colas.

Su varianza es

$$\text{Var}(t) = \frac{\nu}{\nu - 2} \quad \text{para } \nu > 2$$

que siempre supera a 1: con 5 grados de libertad vale 1,667 y con 10, 1,250. A medida que $\nu$ crece, se acerca a 1 y la t converge a la normal.

4 · Los valores críticos

Grados de libertad	$t_{0{,}975}$
1	12,706
2	4,303
5	2,571
10	2,228
15	2,131
20	2,086
30	2,042
50	2,009
100	1,984
∞ (normal)	1,960

Se lee de arriba hacia abajo: con 1 grado de libertad el valor crítico es disparatadamente grande —12,7 en lugar de 1,96— y a partir de 30 ya está muy cerca del valor normal.

5 · Qué cuesta usar z en lugar de t

La sección 2 dice que usar $z$ “da resultados optimistas”. Es medible sin simular: si se arma el intervalo con 1,96 pero el desvío salió de la muestra, la cobertura real es $P(|t_{n-1}| \le 1{,}96)$.

$n$	Cobertura real	Ancho, respecto del correcto
3	81,1 %	45,6 %
5	87,8 %	70,6 %
10	91,8 %	86,6 %
20	93,5 %	93,6 %
30	94,0 %	95,8 %
100	94,7 %	98,8 %
200	94,9 %	99,4 %

Del lado de las pruebas pasa lo mismo, y ahí se ve mejor porque cambia la conclusión:

Estadístico	gl	Valor p correcto	Usando $z$
2,0	30	0,0546	0,0455
2,2	10	0,0524	0,0278
2,5	10	0,0314	0,0124
3,0	5	0,0301	0,0027

6 · Dónde se usa

• IC para la media con $\sigma$ desconocida.
• Prueba t para una media y para dos medias.
• Prueba de significación de los coeficientes de una regresión.
• Prueba de significación del coeficiente de correlación.

En todos los casos la estructura es la misma: un estimador menos su valor hipotético, dividido por su error estándar estimado.

7 · Qué supone

La t exacta requiere que la población sea normal. En la práctica:

Situación	¿Vale la t?
Población normal	Sí, exactamente
$n$ grande, población no normal	Sí, por el TCL
$n$ chico, asimetría fuerte	No: conviene una prueba no paramétrica o bootstrap
Presencia de valores atípicos	Con cuidado: la media y $s$ son sensibles

La casilla problemática es la tercera: muestra chica y población claramente no normal.

Cuánto aguanta la asimetría

Simulando 400.000 muestras de cada caso y armando el intervalo del 95 % para la media:

Población	Asimetría	$n$	Cobertura	Falla por izquierda	Falla por derecha
Normal	0	10	94,99 %	2,50 %	2,51 %
Exponencial	2,0	10	89,97 %	0,41 %	9,63 %
Exponencial	2,0	100	94,10 %	1,27 %	4,63 %
Lognormal	6,2	10	83,88 %	0,09 %	16,03 %
Lognormal	6,2	100	91,74 %	0,50 %	7,76 %
Lognormal	6,2	1.000	94,43 %	1,33 %	4,24 %

La razón es directa: con una cola derecha larga, la mayoría de las muestras chicas no contiene ningún valor grande. Eso subestima la media y también el desvío, así que el intervalo queda corrido hacia abajo y encima angosto. El teorema central del límite termina arreglándolo —la última fila lo muestra— pero con asimetría 6 hacen falta del orden de mil casos, no treinta.

8 · Errores frecuentes

• Usar $z$ en lugar de $t$ con $\sigma$ desconocida. Es el error clásico y siempre da resultados optimistas.
• Equivocar los grados de libertad. Para una media son $n-1$; para dos medias independientes con varianzas distintas, la fórmula de Welch —que el software resuelve solo—; para regresión, $n - k - 1$.
• Creer que la t es para muestras chicas. Es para $\sigma$ desconocida, en cualquier $n$.
• Buscar el valor crítico en la columna equivocada. Para un IC del 95 % bilateral se busca el cuantil 0,975, no 0,95.
• Confundir el estadístico t con la distribución t.
• Aplicarla con muestra chica y datos muy asimétricos. No solo pierde cobertura: falla sistemáticamente para el mismo lado.
• Creer que $n = 30$ resuelve la asimetría. Resuelve la diferencia entre t y z, que es otra cosa. Con asimetría 6 el intervalo todavía cubre 88 %.

9 · En el software

# R
qt(0.975, df = 10)      # 2.228  valor crítico
pt(2.5, df = 10)        # acumulada
2 * pt(-2.5, df = 10)   # valor p bilateral

# En la práctica, directamente:
t.test(x, mu = 0)

# Python
from scipy import stats
stats.t.ppf(0.975, df=10)      # 2.228
stats.ttest_1samp(x, popmean=0)

Excel:    =INV.T.2C(0,05; 10)      valor crítico bilateral
          =DISTR.T.2C(2,5; 10)     valor p bilateral
SPSS:     Analizar › Comparar medias › Prueba T

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