Distribución t de Student

1 · Definición

La distribución t de Student es la distribución del estadístico

$$t = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}$$

cuando la población es normal y $\sigma$ se estima con $s$. Tiene un solo parámetro: los grados de libertad, que en este caso valen $n - 1$.

2 · Por qué existe

Si se conociera $\sigma$, el cociente sería exactamente normal estándar. Pero $\sigma$ casi nunca se conoce, así que se usa $s$ —que cambia con cada muestra—.

Eso agrega una segunda fuente de variabilidad: hay incertidumbre arriba y abajo de la fracción. El resultado es una distribución con más probabilidad en los extremos que la normal.

Usar $z$ cuando corresponde $t$ subestima esa incertidumbre y produce intervalos demasiado angostos y valores p demasiado chicos.

3 · Su forma

Comparte con la normal la simetría, la forma de campana y el centro en cero. Se diferencia en que es más baja en el medio y más alta en las colas.

Su varianza es

$$\text{Var}(t) = \frac{\nu}{\nu - 2} \quad \text{para } \nu > 2$$

que siempre supera a 1: con 5 grados de libertad vale 1,667 y con 10, 1,250. A medida que $\nu$ crece, se acerca a 1 y la t converge a la normal.

4 · Los valores críticos

Grados de libertad	$t_{0{,}975}$
1	12,706
2	4,303
5	2,571
10	2,228
15	2,131
20	2,086
30	2,042
50	2,009
100	1,984
∞ (normal)	1,960

Se lee de arriba hacia abajo: con 1 grado de libertad el valor crítico es disparatadamente grande —12,7 en lugar de 1,96— y a partir de 30 ya está muy cerca del valor normal.

5 · Dónde se usa

• IC para la media con $\sigma$ desconocida.
• Prueba t para una media y para dos medias.
• Prueba de significación de los coeficientes de una regresión.
• Prueba de significación del coeficiente de correlación.

En todos los casos la estructura es la misma: un estimador menos su valor hipotético, dividido por su error estándar estimado.

6 · Qué supone

La t exacta requiere que la población sea normal. En la práctica:

Situación	¿Vale la t?
Población normal	Sí, exactamente
$n$ grande, población no normal	Sí, por el TCL
$n$ chico, asimetría fuerte	No: conviene una prueba no paramétrica o bootstrap
Presencia de valores atípicos	Con cuidado: la media y $s$ son sensibles

La casilla problemática es la tercera: muestra chica y población claramente no normal.

7 · Errores frecuentes

• Usar $z$ en lugar de $t$ con $\sigma$ desconocida. Es el error clásico y siempre da resultados optimistas.
• Equivocar los grados de libertad. Para una media son $n-1$; para dos medias independientes con varianzas distintas, la fórmula de Welch —que el software resuelve solo—; para regresión, $n - k - 1$.
• Creer que la t es para muestras chicas. Es para $\sigma$ desconocida, en cualquier $n$.
• Buscar el valor crítico en la columna equivocada. Para un IC del 95 % bilateral se busca el cuantil 0,975, no 0,95.
• Confundir el estadístico t con la distribución t.
• Aplicarla con muestra chica y datos muy asimétricos.

8 · En el software

# R
qt(0.975, df = 10)      # 2.228  valor crítico
pt(2.5, df = 10)        # acumulada
2 * pt(-2.5, df = 10)   # valor p bilateral

# En la práctica, directamente:
t.test(x, mu = 0)

# Python
from scipy import stats
stats.t.ppf(0.975, df=10)      # 2.228
stats.ttest_1samp(x, popmean=0)

Excel:    =INV.T.2C(0,05; 10)      valor crítico bilateral
          =DISTR.T.2C(2,5; 10)     valor p bilateral
SPSS:     Analizar › Comparar medias › Prueba T

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