Regla de la suma

1 · La regla

La probabilidad de que ocurra $A$, $B$ o los dos:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Si los eventos son mutuamente excluyentes, la intersección vale cero y queda la versión simple:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

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2 · Por qué se resta

Porque al sumar $P(A)$ y $P(B)$, los casos que están en los dos eventos se cuentan dos veces: una en cada término. Restar la intersección los deja contados una sola vez.

Se ve directamente en el diagrama de Venn: la zona superpuesta pertenece a los dos círculos, y sumar las dos áreas la incluye dos veces.

3 · Un ejemplo con datos reales

Sea $A$ = “no terminó el secundario” ($P = 0{,}2535$) y $B$ = “tiene empleo no registrado” ($P = 0{,}3764$). La intersección —las dos cosas— vale 0,1494.

$$P(A \cup B) = 0{,}2535 + 0{,}3764 - 0{,}1494 = 0{,}4806$$

El 48 % de los asalariados tiene al menos una de las dos condiciones. Sumar sin restar habría dado 0,6299, que sobreestima en 15 puntos porcentuales: exactamente la proporción que cumple las dos cosas y quedaba contada doble.

4 · Las cuatro preguntas que se hacen sobre dos eventos

La unión es una de cuatro, y conviene tenerlas juntas porque el enunciado cambia poco y la cuenta cambia mucho:

Pregunta	Fórmula	Valor
Al menos uno	$P(A) + P(B) - P(A \cap B)$	0,4806
Los dos	$P(A \cap B)$	0,1494
Exactamente uno	$P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)$	0,3312
Ninguno	$1 - P(A \cup B)$	0,5194

5 · La manera de no tener que restar nada

Hay un truco de encuadre que hace desaparecer el problema: partir la unión en pedazos que no se superponen. Cualquier par de eventos divide al espacio en cuatro piezas disjuntas, y una tabla de dos por dos es exactamente eso:

Pieza	Probabilidad
Solo $A$ —sin secundario, registrado—	0,1042
Solo $B$ —con secundario, no registrado—	0,2271
Los dos	0,1494
Ninguno	0,5194

6 · Tres eventos

La regla se extiende sumando y restando alternadamente —el principio de inclusión-exclusión—:

$$P(A \cup B \cup C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$$

Se resta cada par porque quedó contado dos veces, y se vuelve a sumar la triple porque las restas anteriores la eliminaron por completo.

7 · El camino del complemento

Es el atajo que conviene tener como primera opción:

$$P(\text{al menos uno}) = 1 - P(\text{ninguno})$$

Si la probabilidad de que una prueba diagnóstica falle es 0,05 y se aplican tres pruebas independientes, la probabilidad de que al menos una falle es

$$1 - 0{,}95^{3} = 1 - 0{,}8574 = 0{,}1426$$

Calcularlo con inclusión-exclusión daría lo mismo y llevaría siete términos.

8 · Errores frecuentes

• Sumar sin restar la intersección. El error central de la regla; se detecta solo cuando el resultado supera 1.
• Restar la intersección cuando los eventos son excluyentes. Vale cero, pero si se la estima mal se introduce un error.
• Confundir “o” con “y”. La suma es para la unión; el producto, para la intersección.
• Leer “o” como exclusivo. En probabilidad, ”$A$ o $B$” incluye que ocurran los dos. Si el enunciado pide “exactamente uno”, hay que restar dos veces la intersección.
• Multiplicar para obtener “ninguno” sin verificar la independencia.
• Sumar probabilidades condicionales de distintos condicionantes. Solo se suman las que comparten la misma condición.
• Aplicarla a eventos de experimentos distintos sin pensar si se superponen.

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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