Espacio muestral y eventos

1 · Definición

El espacio muestral $\Omega$ es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Un evento —o suceso— es cualquier subconjunto de $\Omega$: un conjunto de resultados que interesa agrupar bajo una misma pregunta.

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2 · Un ejemplo

Al tirar un dado:

$$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$

Evento	Subconjunto
“Sale un número par”	$\{2, 4, 6\}$
“Sale más de 4”	$\{5, 6\}$
“Sale un 3”	$\{3\}$ — evento elemental
“Sale un número menor a 7”	$\Omega$ — evento seguro
“Sale un 8”	$\varnothing$ — evento imposible

3 · Cómo escribir bien el espacio muestral

Es el paso donde se decide si el problema va a salir o no. Dos reglas:

Los resultados tienen que ser excluyentes y exhaustivos. Cada repetición del experimento produce uno y solo uno de ellos.

El espacio depende de qué se observa, no del experimento físico. Al tirar dos monedas, si interesa qué salió en cada una:

$$\Omega = \{(C,C),\, (C,X),\, (X,C),\, (X,X)\}$$

pero si solo interesa cuántas caras salieron:

$$\Omega = \{0, 1, 2\}$$

4 · Operaciones entre eventos

Son las de conjuntos, y cada una corresponde a una palabra del enunciado:

Operación	Notación	Se lee	En el enunciado
Unión	$A \cup B$	ocurre $A$, $B$ o los dos	“o”, “al menos uno”
Intersección	$A \cap B$	ocurren los dos	“y”, “ambos”
Complemento	$A^{c}$ o $\bar{A}$	no ocurre $A$	“no”, “ninguno”
Diferencia	$A - B$	ocurre $A$ pero no $B$	“solo $A$”

En el ejemplo del dado, con $A$ = par y $B$ = mayor a 4:

$$A \cup B = \{2,4,5,6\} \qquad A \cap B = \{6\} \qquad A^{c} = \{1,3,5\}$$

5 · Un espacio muestral de verdad

Elegir al azar un asalariado de los aglomerados urbanos y anotar dos cosas: si terminó el secundario y si su empleo está registrado. El espacio muestral tiene cuatro resultados, y estas son sus probabilidades:

	No registrado	Registrado	Total
Sin secundario	0,1494	0,1042	0,2535
Con secundario	0,2271	0,5194	0,7465
Total	0,3764	0,6236	1,0000

Con $A$ = “tiene secundario” y $B$ = “está registrado”:

Evento	Qué resultados agrupa	Probabilidad
$A \cap B$	uno solo	0,5194
$A \cup B$	tres de los cuatro	0,8506
$(A \cup B)^{c}$	el que queda	0,1494
$A - B$	con secundario, sin registrar	0,2271

6 · De Morgan y el truco del complemento

Las dos leyes que convierten un “ninguno” en un “no alguno”:

$$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \qquad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$$

En palabras: “ninguno de los dos” es lo mismo que “no el primero y no el segundo”. En la tabla de arriba se lee directo: el complemento de la unión es la celda de los que no tienen secundario y no están registrados, 0,1494.

De ahí sale el atajo más rentable del módulo:

$$P(\text{al menos uno}) = 1 - P(\text{ninguno})$$

La unión de arriba se puede calcular de dos maneras, y conviene ver que dan lo mismo:

Camino	Cuenta	Resultado
Por el complemento	$1 - 0{,}1494$	0,8506
Por la regla de la suma	$0{,}7465 + 0{,}6236 - 0{,}5194$	0,8506

7 · Espacios finitos, numerables y continuos

Tipo	Ejemplo	Qué implica
Finito	Cara o ceca; las 6 caras del dado	Se pueden listar
Infinito numerable	Cantidad de llamados hasta el primer éxito	Se listan sin terminar
Continuo	El tiempo de espera de un colectivo	No se listan: se trabaja con intervalos

En el tercer caso, la probabilidad de un punto exacto es cero y solo tienen probabilidad los intervalos. Es la razón por la que en una función de densidad se calculan áreas y no alturas.

8 · Errores frecuentes

• Escribir el espacio agrupado y tratarlo como equiprobable. Con dos monedas, $P(1 \text{ cara}) = 0{,}5$, no $1/3$.
• Omitir resultados posibles. Si el espacio no es exhaustivo, las probabilidades no suman 1.
• Confundir “o” inclusivo con exclusivo. En probabilidad, “o” incluye el caso en que ocurren los dos.
• Confundir unión con intersección. “Al menos uno” es unión; “los dos” es intersección.
• Negar mal una unión. El complemento de “A o B” es “ni A ni B”, no “no A o no B”.
• Confundir $\varnothing$ con un resultado. El evento imposible es el conjunto vacío, no un elemento.
• Leer probabilidad cero como imposibilidad en un espacio continuo.
• No definir el espacio antes de calcular.

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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