Simulación de Montecarlo

1 · La idea

Si una probabilidad es la frecuencia con la que ocurre algo al repetir un experimento, se la puede estimar repitiendo el experimento. En una computadora, muchas veces.

$$\hat{p} = \frac{\text{veces que ocurrió}}{B}$$

donde $B$ es la cantidad de repeticiones.

2 · Para qué se usa

Situación	Por qué conviene
No hay fórmula cerrada	la única salida
La hay pero es enredada	menos propensa a errores que un conteo largo
Se dedujo una fórmula	verificarla: si no coinciden, una de las dos está mal
Hay que convencer a alguien	una simulación no admite discusión sobre el planteo

3 · Cuántas repeticiones hacen falta

La estimación tiene error de muestreo como cualquier otra, y se lo puede calcular de antemano. Para una probabilidad cercana a 0,5, que es el peor caso:

$$EE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{B}}$$

Corridas	Error típico	Margen del 95 %
100	0,050	±0,098
1.000	0,016	±0,031
10.000	0,005	±0,010
100.000	0,0016	±0,003
1.000.000	0,0005	±0,001

4 · Un caso con las dos vías

El problema del cumpleaños tiene fórmula exacta, así que sirve para ver cómo se comporta la simulación cuando se conoce la respuesta. Con 23 personas, el valor exacto es 0,5073:

Corridas	Estimación	Se aparta
1.000	0,5130	0,0057
10.000	0,5127	0,0054
100.000	0,5076	0,0003

5 · La semilla

Un generador de números aleatorios es determinista: a partir de una semilla produce siempre la misma secuencia. Eso, que suena a defecto, es lo que hace reproducible un análisis.

6 · Dónde aparece en este sitio

No es un tema aparte: es la herramienta con la que se responden varias de las preguntas de otros módulos.

Pregunta	Cómo se resuelve
¿Un IC del 95 % cubre al parámetro el 95 % de las veces?	simular muchas muestras y contar
¿Cuánto vale realmente el error estándar con muestreo por conglomerados?	bootstrap de viviendas
¿Por qué se divide por $n-1$?	comparar las dos fórmulas sobre miles de muestras
¿Dos series sin relación pueden correlacionar alto?	generar pares de paseos aleatorios

7 · Errores frecuentes

• No declarar la cantidad de repeticiones. Sin $B$, el resultado no se puede evaluar.
• No fijar la semilla, o fijarla después de ver los resultados.
• Informar más decimales de los que $B$ sostiene. Con 1.000 corridas, la tercera cifra es ruido.
• Simular el modelo equivocado. La computadora obedece: si el planteo está mal, el resultado sale prolijo y es falso.
• Creer que más repeticiones arreglan un sesgo. Solo reducen el error aleatorio; si la simulación no representa el problema, converge a la respuesta equivocada.
• Usar simulación cuando hay una fórmula simple. Es más lenta y menos exacta.

8 · En el software

# R — el cumpleaños, por simulación
set.seed(2026)
B <- 100000
hay <- replicate(B, any(duplicated(sample(365, 23, replace = TRUE))))
mean(hay)                       # 0.5076
sqrt(mean(hay) * (1 - mean(hay)) / B) * 1.96   # el margen

# Contra la fórmula exacta
1 - prod(365:343) / 365^23      # 0.5073

# Python
import numpy as np
rng = np.random.default_rng(2026)
B = 100_000
hay = [len(set(rng.integers(0, 365, 23).tolist())) < 23 for _ in range(B)]
p = np.mean(hay)
p, 1.96 * np.sqrt(p * (1 - p) / B)

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
  title        = {{Simulación de Montecarlo}},
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