Distribución normal

1 · Definición

La distribución normal es la distribución continua con forma de campana simétrica, definida por dos parámetros: su media $\mu$ y su desvío estándar $\sigma$.

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \; e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$

Se anota $X \sim N(\mu, \sigma)$.

2 · Sus propiedades

Simétrica alrededor de $\mu$, donde coinciden media, mediana y modo.

Con forma de campana, decreciendo hacia los dos lados.

Asintótica: se acerca al eje sin tocarlo nunca. En teoría toma valores de $-\infty$ a $+\infty$, aunque la probabilidad más allá de 4 desvíos sea ínfima.

Determinada por dos parámetros: $\mu$ la corre y $\sigma$ la ensancha o angosta. La forma es siempre la misma.

Cerrada bajo sumas: la suma de normales independientes es normal. Esa propiedad es la que hace que aparezca en tantos lugares.

3 · La regla del 68-95-99,7

Intervalo	Proporción
$\mu \pm 1\sigma$	68,27 %
$\mu \pm 2\sigma$	95,45 %
$\mu \pm 3\sigma$	99,73 %

Esos porcentajes son los mismos para cualquier normal, sea cual sea su media y su desvío. Es la propiedad que permite trabajar con una sola tabla —la de la normal estándar— en lugar de una por cada combinación de parámetros.

Ver regla empírica y Chebyshev para su uso como diagnóstico.

4 · Por qué aparece en todos lados

Por el teorema central del límite: cuando una variable es el resultado de muchas causas pequeñas que se suman, su distribución tiende a normal.

La estatura depende de decenas de genes y de factores ambientales; los errores de medición, de muchas fuentes chicas de imprecisión. En los dos casos, la suma de muchos efectos produce una campana.

Y sobre todo: aunque los datos no sean normales, la media muestral lo es con $n$ suficiente. Esa es la razón de fondo por la que la normal está en el centro de toda la inferencia.

5 · Casi nada es exactamente normal

Es la advertencia que conviene tener presente.

Motivos por los que siempre hay apartamiento:

• Casi todas las variables reales tienen límites: el peso no puede ser negativo, la edad no pasa de 120. La normal no tiene límites.
• Muchas son asimétricas por construcción: ingresos, tiempos, precios.
• Muchas son discretas.

El ingreso de la EPH, con asimetría 5,46, está en el extremo opuesto de una normal. Y sin embargo se puede hacer inferencia sobre su media, porque lo que tiene que ser aproximadamente normal es la distribución muestral, no los datos.

6 · Cuándo importa la normalidad

Procedimiento	¿Exige normalidad de los datos?
IC y prueba t para la media	No, si $n$ es suficiente (TCL)
ANOVA	De los residuos, y es bastante robusto
Regresión lineal	De los residuos, no de las variables
IC para la varianza	Sí, mucho, y $n$ grande no salva
Pruebas no paramétricas	No

La fila que importa es la cuarta: es la única del curso donde la normalidad es crítica y la muestra grande no compensa.

7 · Errores frecuentes

• Suponer normalidad sin verificarla. Se mira el histograma, o se usa una prueba de normalidad.
• Creer que el TCL vuelve normales a los datos. Vuelve normal a la distribución de la media.
• Exigir normalidad de las variables en regresión. El supuesto es sobre los residuos.
• Usar la normal con variables acotadas cerca del límite. Una proporción cercana a 0 o a 1 no se modela bien con una normal.
• Rechazar la normalidad por una prueba con $n$ enorme. Con muchos casos, cualquier desvío ínfimo da significativo. Lo que importa es si el apartamiento es grande, no si es detectable.
• Confundir “normal” con “frecuente” o “correcto”. Es el nombre de una distribución, nada más.

8 · En el software

# R
dnorm(x, mean = 170, sd = 10)     # densidad
pnorm(180, 170, 10)               # P(X ≤ 180) = 0.841
qnorm(0.975, 170, 10)             # el valor que deja 97,5 % abajo
rnorm(100, 170, 10)               # 100 valores simulados

# Verificar normalidad
qqnorm(x); qqline(x)
shapiro.test(x)

# Python
from scipy import stats
stats.norm.cdf(180, 170, 10)
stats.probplot(x, dist="norm", plot=plt)

Excel:    =DISTR.NORM.N(x; media; desv; VERDADERO)
          =INV.NORM(p; media; desv)
SPSS:     Analizar › Descriptivos › Explorar › Gráficos con pruebas de normalidad

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