Distribución normal

1 · Definición

La distribución normal es la distribución continua con forma de campana simétrica, definida por dos parámetros: su media $\mu$ y su desvío estándar $\sigma$.

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \; e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$

Se anota $X \sim N(\mu, \sigma)$.

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2 · Sus propiedades

Simétrica alrededor de $\mu$, donde coinciden media, mediana y modo.

Con forma de campana, decreciendo hacia los dos lados.

Asintótica: se acerca al eje sin tocarlo nunca. En teoría toma valores de $-\infty$ a $+\infty$, aunque las colas se apaguen muy rápido:

Apartarse más de	Probabilidad	Una vez cada
3 σ	0,0027	370
4 σ	0,000063	15.787
5 σ	0,00000057	1,7 millones
6 σ	0,0000000020	507 millones

Determinada por dos parámetros: $\mu$ la corre y $\sigma$ la ensancha o angosta. La forma es siempre la misma.

Cerrada bajo sumas: la suma de normales independientes es normal. Esa propiedad es la que hace que aparezca en tantos lugares.

3 · La regla del 68-95-99,7

Intervalo	Proporción
$\mu \pm 1\sigma$	68,27 %
$\mu \pm 2\sigma$	95,45 %
$\mu \pm 3\sigma$	99,73 %

Esos porcentajes son los mismos para cualquier normal, sea cual sea su media y su desvío. Es la propiedad que permite trabajar con una sola tabla —la de la normal estándar— en lugar de una por cada combinación de parámetros.

Ver regla empírica y Chebyshev para su uso como diagnóstico.

4 · Por qué aparece en todos lados

Por el teorema central del límite: cuando una variable es el resultado de muchas causas pequeñas que se suman, su distribución tiende a normal.

La estatura depende de decenas de genes y de factores ambientales; los errores de medición, de muchas fuentes chicas de imprecisión. En los dos casos, la suma de muchos efectos produce una campana.

Y sobre todo: aunque los datos no sean normales, la media muestral lo es con $n$ suficiente. Esa es la razón de fondo por la que la normal está en el centro de toda la inferencia.

5 · Casi nada es exactamente normal

Es la advertencia que conviene tener presente.

Motivos por los que siempre hay apartamiento:

• Casi todas las variables reales tienen límites: el peso no puede ser negativo, la edad no pasa de 120. La normal no tiene límites.
• Muchas son asimétricas por construcción: ingresos, tiempos, precios.
• Muchas son discretas.

El ingreso de la EPH, con asimetría 5,46, está en el extremo opuesto de una normal. Y sin embargo se puede hacer inferencia sobre su media, porque lo que tiene que ser aproximadamente normal es la distribución muestral, no los datos.

Cuánto se aparta, aplicándole al ingreso la regla de la sección anterior:

Intervalo	En una normal	En el ingreso real
$\mu \pm 1\sigma$	68,27 %	90,60 %
$\mu \pm 2\sigma$	95,45 %	96,75 %
$\mu \pm 3\sigma$	99,73 %	98,40 %

6 · Cuándo importa la normalidad

Procedimiento	¿Exige normalidad de los datos?
IC y prueba t para la media	No, si $n$ es suficiente (TCL)
ANOVA	De los residuos, y es bastante robusto
Regresión lineal	De los residuos, no de las variables
IC para la varianza	Sí, mucho, y $n$ grande no salva
Pruebas no paramétricas	No

La fila que importa es la cuarta: es la única del curso donde la normalidad es crítica y la muestra grande no compensa.

7 · Errores frecuentes

• Suponer normalidad sin verificarla. Se mira el histograma, o se usa una prueba de normalidad.
• Creer que el TCL vuelve normales a los datos. Vuelve normal a la distribución de la media.
• Exigir normalidad de las variables en regresión. El supuesto es sobre los residuos.
• Usar la normal con variables acotadas cerca del límite. Una proporción cercana a 0 o a 1 no se modela bien con una normal.
• Rechazar la normalidad por una prueba con $n$ enorme. Con muchos casos, cualquier desvío ínfimo da significativo. Lo que importa es si el apartamiento es grande, no si es detectable.
• Leer un evento “de seis sigmas” como rarísimo. Casi siempre significa que el modelo normal no corresponde.
• Confundir “normal” con “frecuente” o “correcto”. Es el nombre de una distribución, nada más.

8 · En el software

# R
dnorm(x, mean = 170, sd = 10)     # densidad
pnorm(180, 170, 10)               # P(X ≤ 180) = 0.841
qnorm(0.975, 170, 10)             # el valor que deja 97,5 % abajo
rnorm(100, 170, 10)               # 100 valores simulados

# Verificar normalidad
qqnorm(x); qqline(x)
shapiro.test(x)

# Python
from scipy import stats
stats.norm.cdf(180, 170, 10)
stats.probplot(x, dist="norm", plot=plt)

Excel:    =DISTR.NORM.N(x; media; desv; VERDADERO)
          =INV.NORM(p; media; desv)
SPSS:     Analizar › Descriptivos › Explorar › Gráficos con pruebas de normalidad

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