IC para la media con σ conocida

1 · La fórmula

$$\bar{x} \;\pm\; z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

2 · Cuándo se puede usar

Cuando se conoce el desvío estándar de la población y se cumple alguna de estas dos condiciones:

• La población es normal, o
• $n$ es suficientemente grande como para que el TCL garantice la normalidad de la media.

3 · El problema

Esa es la objeción obvia y es correcta. En la práctica hay pocas situaciones donde $\sigma$ se conozca de verdad:

• Instrumentos de medición calibrados, cuya precisión está documentada por el fabricante.
• Procesos industriales con historial largo y estable.
• Pruebas estandarizadas diseñadas para tener un desvío fijo por construcción.

Fuera de esos casos, se usa $s$ en lugar de $\sigma$, y eso cambia la distribución de referencia: hay que pasar a la distribución t. Ver IC para la media con σ desconocida.

4 · Entonces, ¿para qué estudiarlo?

Por dos razones prácticas.

Porque es la base conceptual. Toda la lógica del intervalo —estimación ± valor crítico × error estándar— se entiende mejor acá, sin la complicación adicional de la t.

Porque con $n$ grande es lo que se usa igual. Cuando la muestra es grande, la distribución t es prácticamente idéntica a la normal, y usar $z = 1{,}96$ con $s$ en lugar de $\sigma$ da esencialmente el mismo resultado.

$n$	$t_{0{,}975}$	$z_{0{,}975}$	Diferencia
10	2,262	1,960	15,4 %
30	2,045	1,960	4,3 %
100	1,984	1,960	1,2 %
1.000	1,962	1,960	0,1 %
15.448	1,960	1,960	≈ 0

Con más de unos 100 casos la distinción deja de tener consecuencias prácticas sobre el valor crítico. Cuánto cuesta en cobertura usar $z$ con $s$ está medido en la entrada de la t: con tres datos, un intervalo que dice 95 % cubre el 81 %.

Y una tercera razón, que es la única exclusiva

Cuando $\sigma$ se conoce, el ancho del intervalo queda determinado antes de recolectar un solo dato. Vale $2 z \sigma/\sqrt{n}$ y no depende de lo que salga en la muestra. Con $s$, en cambio, el ancho es aleatorio:

$n$	Ancho con $\sigma$ conocida	Ancho con $s$: 95 % de las veces entre
10	1,240 siempre	0,783 y 2,082 — un factor de 2,7
30	0,716 siempre	0,557 y 0,938
100	0,392 siempre	0,342 y 0,452

5 · El procedimiento

Paso 1. Verificá las condiciones: $\sigma$ conocida, y población normal o $n$ grande.

Paso 2. Calculá $\bar{x}$.

Paso 3. Buscá $z_{\alpha/2}$ según el nivel de confianza: 1,96 para el 95 %. Los de los niveles habituales están en nivel de confianza; para cualquier otro, en la tabla normal estándar —se busca la probabilidad $1 - \alpha/2$ en el cuerpo de la tabla— o en la calculadora de puntaje z y percentiles. Cómo leer la tabla está en uso de tablas de distribución.

Paso 4. Calculá el error estándar $\sigma/\sqrt{n}$.

Paso 5. Armá el intervalo.

6 · Un ejemplo

Con los 15.448 ocupados de la EPH, tomando $\sigma = 1.003.821$ como conocido:

$$EE = \frac{1.003.821}{\sqrt{15.448}} = 8.076$$ $$IC_{95\%} = 990.201 \pm 1{,}96 \times 8.076 = (974.372,\; 1.006.030)$$

Prácticamente idéntico al que da la distribución t, porque con 15.447 grados de libertad $t = 1{,}960$.

7 · Errores frecuentes

• Usarlo con $\sigma$ desconocida y muestra chica. Ahí va la t, y la diferencia importa.
• Confundir $\sigma$ con $s$. Si el número salió de la muestra, es $s$.
• Olvidar dividir por $\sqrt{n}$. El intervalo queda absurdamente ancho.
• Usar $z$ para el nivel equivocado. 1,96 es 95 %; para 99 % va 2,576.
• Aplicarlo con población muy asimétrica y $n$ chico. El TCL necesita más casos de los que sugiere la regla de 30.
• Usarlo con muestreo complejo sin corregir por el efecto de diseño.
• Planificar el tamaño con una $\sigma$ supuesta y darlo por garantizado. El intervalo sale más ancho de lo previsto más de la mitad de las veces.

8 · En el software

# R — no hay función directa, porque el caso práctico es el de la t
z <- qnorm(0.975)
mean(x) + c(-1, 1) * z * sigma / sqrt(length(x))

# Python
from scipy import stats
stats.norm.interval(0.95, loc=x.mean(), scale=sigma/np.sqrt(len(x)))

Excel:    =INTERVALO.CONFIANZA.NORM(0,05; sigma; n)   devuelve el margen

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