Función de densidad (caso continuo)

1 · Definición

La función de densidad de una variable aleatoria continua es la curva cuya área bajo un tramo da la probabilidad de que la variable caiga en ese tramo:

$$P(a < X < b) = \int_a^b f(x)\,dx$$

2 · Por qué no puede ser como el caso discreto

En una variable continua hay infinitos valores posibles en cualquier intervalo. Si cada uno tuviera una probabilidad positiva, la suma de todas superaría 1.

La única salida es que cada valor puntual tenga probabilidad cero:

$$P(X = x) = 0 \qquad \text{para cualquier } x$$

Eso suena raro —alguien mide exactamente 1,75 m— y es correcto en el modelo: con precisión infinita, nadie mide exactamente 1,750000…

Lo que tiene probabilidad positiva son los intervalos. Y ahí aparece la densidad: no dice cuánta probabilidad hay en un punto, sino qué tan concentrada está la probabilidad alrededor de él.

3 · Qué significa entonces la altura

La densidad es una concentración de probabilidad por unidad de la variable, igual que la densidad física es masa por unidad de volumen.

De ahí se desprende algo que sorprende: una densidad puede valer más que 1. Si la variable está muy concentrada en un tramo corto, la curva sube por encima de 1 sin ningún problema. Lo que no puede pasar de 1 es el área total.

4 · Las dos condiciones

$$f(x) \ge 0 \quad \text{para todo } x$$ $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$$

Son las mismas dos del caso discreto, con la integral en lugar de la suma: la densidad nunca es negativa, y el área total es 1.

5 · La relación con el histograma

Un histograma de una variable continua es la versión empírica de la densidad.

Si se dibuja con el eje vertical en densidad —frecuencia relativa dividida por la amplitud de clase— en lugar de en frecuencia, el área total de las barras es 1 y el histograma aproxima directamente a la curva.

Esa es también la razón por la que, con intervalos de distinta amplitud, la altura de las barras tiene que ser la densidad y no la frecuencia: si no, el área deja de ser proporcional a la probabilidad.

6 · Cómo se calculan las probabilidades

En la práctica nadie integra a mano. Se usa la función de distribución acumulada, que es la que devuelven las tablas y el software:

$$P(a < X < b) = F(b) - F(a)$$

Y como los puntos tienen probabilidad cero, da lo mismo usar $<$ o $\le$:

$$P(X < a) = P(X \le a)$$

Esa equivalencia no vale en el caso discreto, y confundirlas es un error de cálculo frecuente.

7 · Errores frecuentes

• Interpretar la altura como probabilidad. Es densidad.
• Alarmarse porque la densidad supera 1. Es posible y correcto.
• Buscar $P(X = x)$ en una continua. Es cero.
• Usar $<$ y $\le$ como si importara la diferencia en una continua. Da lo mismo. En una discreta, no.
• Aplicar la densidad a datos discretos. Con valores enteros va la función de probabilidad.
• Olvidar que el área total es 1. Es la verificación de que el modelo está bien planteado.

8 · En el software

# R — densidad y probabilidad acumulada
dnorm(1.75, mean = 1.70, sd = 0.10)    # densidad: NO es probabilidad
pnorm(1.75, 1.70, 0.10)                # P(X ≤ 1,75): sí lo es

# Probabilidad de un intervalo
pnorm(1.80, 1.70, 0.10) - pnorm(1.60, 1.70, 0.10)

# Densidad empírica a partir de datos
plot(density(datos$ingreso))

# Python
from scipy import stats
stats.norm.pdf(1.75, 1.70, 0.10)    # densidad
stats.norm.cdf(1.75, 1.70, 0.10)    # acumulada

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