Índices de capacidad de proceso

1 · La pregunta

Un gráfico de control dice si el proceso es estable. La capacidad dice si es suficientemente bueno: si lo que produce entra dentro de lo que el cliente pide.

2 · Los dos índices

Cp compara la amplitud de la especificación con la del proceso:

$$C_p = \frac{LSE - LIE}{6\sigma}$$

Cpk además tiene en cuenta si el proceso está centrado:

$$C_{pk} = \min\left(\frac{LSE - \mu}{3\sigma},\; \frac{\mu - LIE}{3\sigma}\right)$$

Índice	Responde
Cp	¿el proceso es lo bastante angosto?
Cpk	¿además está en el lugar correcto?

3 · Por qué Cp solo engaña

Siempre $C_{pk} \le C_p$, y son iguales solo si el proceso está perfectamente centrado. La diferencia entre los dos mide el descentrado. Cuánto cuesta ese descentrado, con un proceso de $C_p = 2{,}00$ —el mejor renglón de la tabla de la sección siguiente— al que solo se le mueve la media:

Corrimiento	$C_p$	$C_{pk}$	Defectos por millón
Centrado	2,00	2,00	0,0
1 $\sigma$	2,00	1,67	0,3
2 $\sigma$	2,00	1,33	31,7
3 $\sigma$	2,00	1,00	1.349,9
4 $\sigma$	2,00	0,67	22.750,1

4 · Cómo se leen

Valor	Interpretación	Defectos aproximados
< 1,00	incapaz	más de 2.700 ppm
1,00	justo en el límite	2.700 ppm
1,33	mínimo habitual exigido	63 ppm
1,67	bueno	0,6 ppm
2,00	nivel “seis sigma”	0,002 ppm

5 · Cuánta confianza merece el número

El índice se calcula con un $\sigma$ estimado, así que es una variable aleatoria. Un proceso cuyo $C_{pk}$ verdadero es exactamente 1,33, medido 20.000 veces:

Mediciones	$C_{pk}$ mediano	Intervalo del 90 %
20	1,30	1,00 – 1,75
30	1,30	1,05 – 1,65
50	1,31	1,11 – 1,57
100	1,31	1,17 – 1,49
200	1,32	1,22 – 1,44
500	1,32	1,25 – 1,40

Y la pregunta que importa no es cuánto vale el índice sino si alcanza el umbral. Cuándo se puede afirmar que $C_{pk} \ge 1{,}33$, o sea cuándo el extremo inferior del intervalo lo supera:

$C_{pk}$ verdadero	$n$ = 30	$n$ = 100	$n$ = 200	$n$ = 500
1,33	no	no	no	no
1,50	no	no	sí	sí
1,67	sí	sí	sí	sí
2,00	sí	sí	sí	sí

6 · Lo que estos índices suponen

Supuesto	Si falla
Proceso bajo control	el índice no significa nada: no hay un proceso estable que describir
Normalidad	la traducción a defectos por millón es incorrecta
Especificaciones bilaterales	con una sola hay versiones específicas
$\sigma$ estimado con precisión	con pocos datos, el índice es muy inestable

Cuánto cuesta la no normalidad

Cuatro procesos con el mismo $C_p = 1{,}33$ —misma media, mismo desvío, mismos límites— y distinta forma:

Forma de la distribución	Defectos que promete el índice	Defectos reales
Normal	63 ppm	62
Uniforme	63 ppm	0
Colas pesadas ($t$ con 4 gl)	63 ppm	4.814
Asimétrica (lognormal)	63 ppm	7.097

7 · Capacidad y desempeño

Índices	$\sigma$ que usan	Qué miden
Cp, Cpk	variación dentro de subgrupos	capacidad potencial
Pp, Ppk	variación total de todos los datos	desempeño real

Un proceso cuya variación dentro del subgrupo no cambia nunca, pero cuya media se corre entre subgrupos —50 subgrupos de 5 mediciones—:

Corrimiento entre subgrupos	$C_p$	$C_{pk}$	$P_p$	$P_{pk}$	ppm reales
Ninguno	2,01	1,99	2,01	1,99	0,0
0,3 $\sigma$	2,01	1,99	1,92	1,90	0,0
0,6 $\sigma$	2,01	1,98	1,73	1,70	0,0
1,0 $\sigma$	2,01	1,97	1,43	1,40	21,5
1,5 $\sigma$	2,01	1,95	1,12	1,09	841,0

8 · Errores frecuentes

• Calcular capacidad sin verificar el control del proceso.
• Reportar solo Cp y no Cpk. Con $C_p = 2$ y la media corrida cuatro desvíos, el proceso tira 22.750 ppm y el $C_p$ sigue diciendo 2,00.
• Suponer normalidad sin verificarla. Con el mismo $C_p = 1{,}33$, una distribución asimétrica produce 7.097 ppm donde el índice promete 63.
• Leer el índice como si fuera exacto. Con 20 mediciones, un $C_{pk}$ verdadero de 1,33 se informa entre 1,00 y 1,75.
• Aceptar un proceso que da justo el mínimo. Un $C_{pk}$ estimado de 1,33 no permite afirmar que el verdadero llegue a 1,33, ni con 500 datos. Hay que apuntar a 1,67.
• Calcularlo con pocos datos: hacen falta al menos 100 mediciones, y aun así el primer decimal es inestable.
• Confundir Cp con Pp. Cp no ve el corrimiento entre subgrupos: puede informar 1,95 mientras el proceso produce 841 ppm.
• Traducir el índice a defectos por millón cuando la normalidad no se cumple.
• Tratar los límites de especificación como si vinieran de los datos.

9 · En el software

# R
library(qcc)

q <- qcc(datos, type = "xbar", nsigmas = 3)
process.capability(q, spec.limits = c(LIE, LSE))
# devuelve Cp, Cp_k, Cp_l, Cp_u, Pp y Ppk

# A mano
Cp  <- (LSE - LIE) / (6 * sd(x))
Cpk <- min((LSE - mean(x)) / (3 * sd(x)),
           (mean(x) - LIE) / (3 * sd(x)))

# Antes de informar nada
shapiro.test(x)                       # ¿la traducción a ppm es válida?
length(x)                             # ¿alcanzan los datos?

# El intervalo del índice, que es lo que casi nunca se informa
library(qualityTools)
cp(x, lsl = LIE, usl = LSE)           # devuelve Cp y Cpk con IC

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