Intervalo de confianza e intervalo de predicción

1 · Dos preguntas distintas

Pregunta	Intervalo
¿Cuál es el ingreso medio de quienes trabajan 40 horas?	de confianza
¿Cuánto va a ganar esta persona que trabaja 40 horas?	de predicción

2 · Por qué el de predicción es mucho más ancho

$$EE_{\text{confianza}} = s\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x_0-\bar{x})^2}{\sum(x_i-\bar{x})^2}}$$ $$EE_{\text{predicción}} = s\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x_0-\bar{x})^2}{\sum(x_i-\bar{x})^2}}$$

La única diferencia es el 1 bajo la raíz, y lo cambia todo:

$n$	Efecto del $1/n$	Efecto del $1$
Crece	tiende a cero	no cambia nunca

3 · El ejemplo

El modelo múltiple del ingreso tiene un error estándar residual de $941.484. Para un caso individual, el intervalo de predicción del 95 % mide aproximadamente $\pm 1{,}96 \times 941.484 \approx \pm 1{,}85$ millones.

Es lo que un $R^2$ de 0,146 significa en la práctica, dicho en unidades interpretables.

Los dos intervalos, uno al lado del otro

Para un varón de 40 años, con estudios superiores, que trabaja 40 horas:

	Desde	Hasta	Ancho
Predicción puntual		$1.478.674
IC de la media	$1.447.473	$1.509.874	$62.400
IC de predicción	−$367.022	$3.324.370	$3.691.392

4 · La forma de las bandas

Los dos intervalos son más angostos en el centro de los datos y se ensanchan hacia los extremos, porque la recta pivota alrededor de $(\bar{x}, \bar{y})$ y un error en la pendiente se amplifica al alejarse.

De ahí la forma de reloj de arena de las bandas de confianza en los gráficos, y un argumento visual más contra la extrapolación: fuera del rango, las bandas se abren sin límite.

5 · De qué supuesto depende cada uno

Intervalo	Sensible a
De confianza	poco a la normalidad, si $n$ es grande (TCL)
De predicción	mucho a la normalidad y a la homocedasticidad

Cuán engañoso, medido

Evaluando el intervalo de predicción del 95 % sobre los 14.129 casos, en las dos escalas:

Modelo	Cobertura total	Falla por debajo	Falla por encima
En pesos	97,7 %	0,0 %	2,3 %
En logaritmos	94,8 %	3,7 %	1,5 %

6 · Cuál reportar

El de confianza, cuando la conclusión es sobre grupos o promedios. Es el caso de casi toda la investigación.

El de predicción, cuando el modelo se va a usar para decidir sobre casos individuales: pronóstico de demanda, valuación de una propiedad, riesgo de un paciente.

Ese segundo uso es donde más se subestima la incertidumbre, porque se reporta el intervalo angosto de la media como si acotara al individuo.

7 · Errores frecuentes

• Usar el de confianza para predecir un caso individual. El error más común y el que más subestima la incertidumbre.
• Predecir fuera del rango de los datos.
• Olvidar que con heterocedasticidad el ancho debería variar según $x$.
• Reportar la predicción puntual sin intervalo.
• Esperar que más datos angosten el de predicción más allá de su límite.
• Usar intervalos simétricos con residuos muy asimétricos.
• Evaluarlo solo por la cobertura total. El modelo en pesos cubre el 97,7 % y falla el 0 % por debajo: el error está todo de un lado.
• Reportar un intervalo cuyo límite es imposible. Acá el 98,9 % de los intervalos de predicción arranca en un ingreso negativo.

8 · En el software

# R — la diferencia es un argumento
nuevo <- data.frame(horas = 40, edad = 40, mujer = 0,
                    secundario = 0, superior = 1)

predict(modelo, nuevo, interval = "confidence")   # la media condicional
predict(modelo, nuevo, interval = "prediction")   # un individuo

# Las bandas en un gráfico
library(ggplot2)
ggplot(d, aes(horas, ingreso)) +
  geom_point(alpha = .1) +
  geom_smooth(method = "lm")        # dibuja la banda de CONFIANZA

# Python
pred = modelo.get_prediction(nuevo)
pred.conf_int()                      # de la media
pred.summary_frame(alpha=0.05)       # trae las dos: mean_ci y obs_ci

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