Nivel de confianza

1 · Definición

El nivel de confianza es la proporción de intervalos que contendrían al parámetro si el procedimiento se repitiera muchas veces.

Se anota $1 - \alpha$, donde $\alpha$ es la proporción complementaria: la de intervalos que no lo contienen.

2 · Los valores críticos

Nivel de confianza	$\alpha$	$z$
90 %	0,10	1,645
95 %	0,05	1,96
98 %	0,02	2,326
99 %	0,01	2,576
99,9 %	0,001	3,291

Esos valores salen de la distribución normal: $z$ es el punto que deja $\alpha/2$ de probabilidad en cada cola. Con muestras chicas y $\sigma$ desconocida se usan los valores de la distribución t, que son algo mayores.

3 · El precio de más confianza

Subir el nivel de confianza ensancha el intervalo. Es un intercambio directo, y conviene verlo con números concretos.

Con el ingreso medio de la EPH (media $990.201, error estándar $8.076):

En el extremo, un intervalo del 100 % de confianza sería “entre menos infinito e infinito”: siempre contiene al parámetro y no dice absolutamente nada.

El precio que se paga en casos

Ensanchar el intervalo es una manera de verlo. La otra, y la que importa al planificar, es cuántos casos hacen falta para conservar el mismo ancho. Como el margen es $z \cdot s/\sqrt{n}$, mantenerlo fijo mientras sube $z$ exige multiplicar $n$ por $(z/1{,}96)^{2}$:

4 · Por qué 95 %

Por convención, y por nada más.

El 95 % se popularizó a principios del siglo XX y quedó como estándar en la mayoría de las disciplinas. No hay ningún argumento teórico que lo distinga de 94 % o de 96 %.

Eso no lo vuelve arbitrario en el mal sentido: tener una convención compartida permite comparar resultados entre estudios. Pero conviene saber que es una convención y no un umbral natural.

Cuándo conviene apartarse:

• 99 % o más, cuando las consecuencias de errar son graves: ensayos clínicos, control de seguridad, decisiones irreversibles.
• 90 %, en estudios exploratorios donde se prefiere no perder señales débiles.
• Y siempre declarándolo antes, no después de ver cuál da el resultado más cómodo.

5 · La relación con el nivel de significación

Esta sección adelanta un tema del módulo siguiente, pruebas de hipótesis, donde el nivel de significación $\alpha$ es la probabilidad de rechazar una hipótesis que era cierta. Por ahora alcanza con ver que ese $\alpha$ y el del nivel de confianza son el mismo número.

Es la misma cosa vista desde los dos lados:

$$\text{nivel de confianza} = 1 - \alpha$$

Un intervalo del 95 % y una prueba de hipótesis con $\alpha = 0{,}05$ son equivalentes: si el valor propuesto por $H_0$ cae fuera del intervalo, la prueba rechaza.

Por eso informar el intervalo hace casi siempre innecesario informar el p-valor —y es más informativo—.

6 · Errores frecuentes

• Creer que más confianza es mejor. Es más ancho, o sea menos preciso. Y si se quiere conservar el ancho, pasar de 95 % a 99 % cuesta un 73 % más de casos.
• Elegir el nivel después de ver los resultados. Se fija antes, como el $\alpha$.
• Usar 1,96 con muestras chicas. Corresponde el valor de la t, que es mayor.
• Confundir nivel de confianza con la probabilidad de que el parámetro esté en este intervalo. Ver interpretación correcta.
• No declararlo. Un intervalo sin nivel de confianza no se puede interpretar.
• Pensar que un IC del 99 % “prueba más”. Prueba lo mismo con más cautela.

7 · En el software

# R
t.test(x, conf.level = 0.99)$conf.int
qnorm(0.975)      # 1.959964 — el famoso 1,96
qt(0.975, df = 24)  # el valor de la t con 24 grados de libertad

# Python
from scipy import stats
stats.norm.ppf(0.975)
stats.t.interval(0.99, len(x)-1, loc=x.mean(), scale=stats.sem(x))

Excel:    =INV.NORM.ESTAND(0,975)
          =INV.T.2C(0,05; gl)

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