IC para la media con σ desconocida

1 · La fórmula

$$\bar{x} \;\pm\; t_{\alpha/2,\; n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$

2 · Por qué la t y no la z

Porque al estimar $\sigma$ con $s$ se agrega una segunda fuente de incertidumbre: no solo no se conoce la media, tampoco se conoce la dispersión.

La distribución t tiene colas más pesadas que la normal, y esas colas más pesadas producen valores críticos mayores. El intervalo queda más ancho, que es exactamente lo que corresponde cuando se sabe menos.

Los grados de libertad son $n - 1$, por la misma razón que en la varianza: se gastó un grado al estimar la media. Ver por qué n−1.

A medida que $n$ crece, la t converge a la normal y la diferencia desaparece.

3 · El procedimiento

Paso 1. Verificá los supuestos.

Paso 2. Calculá $\bar{x}$ y $s$.

Paso 3. Calculá el error estándar: $EE = s/\sqrt{n}$.

Paso 4. Buscá $t$ con $n-1$ grados de libertad y el nivel elegido. Está en la tabla t de Student: la fila es la de los grados de libertad y la columna, la del nivel de confianza (para el 95 %, la que deja 0,025 en cada cola). Si los grados de libertad no figuran, se usa la fila inmediata inferior; el detalle está en uso de tablas de distribución. En el software: qt(0.975, n - 1) en R o =T.INV.2T(0,05; n-1) en Excel.

Paso 5. Armá el intervalo: $\bar{x} \pm t \cdot EE$.

Paso 6. Informalo con el nivel de confianza y el $n$.

4 · Los supuestos

Muestreo aleatorio. Sin esto no vale nada de lo demás.

Normalidad de la distribución muestral de la media. Se cumple si la población es aproximadamente normal, o si $n$ es suficientemente grande. Cuánto es “suficiente” depende de la asimetría: ver teorema central del límite.

Independencia. Los casos no tienen que estar correlacionados entre sí. Mediciones repetidas del mismo sujeto o personas del mismo hogar violan este supuesto.

Qué tan menor, y qué arregla cada alternativa

La cobertura real de un procedimiento es la proporción de veces que su intervalo contiene de verdad al parámetro. Un intervalo del 95 % promete que sea el 95 %, pero esa promesa descansa en los supuestos; para saber cuánto se cumple con datos asimétricos hay que medirla.

La forma de medirla es simular. Se toma el ingreso de la EPH como si fuera la población entera —es muy asimétrico: asimetría 10,21 sin ponderar—, así que su media verdadera se conoce. De esa población se sacan muchísimas muestras de $n$ casos, con cada una se construye el intervalo y se cuenta en qué porcentaje de las muestras el intervalo atrapó a la media verdadera. Eso se hizo con tres procedimientos que dicen 95 %:

• el intervalo t de esta entrada;
• el bootstrap percentil, que en lugar de la fórmula usa los percentiles 2,5 y 97,5 de medias recalculadas sobre la propia muestra, y que suele proponerse como el remedio para datos no normales;
• el intervalo para la mediana por estadísticos de orden, que no supone ninguna forma de distribución, pero estima otro parámetro.

En la tabla, la cobertura real es la cifra para comparar con el 95 %: por debajo, el intervalo falla más de lo que dice; por encima, es más prudente de lo necesario. El ancho medio, en pesos, dice cuánto precisa: entre dos procedimientos que cubren bien, conviene el más angosto.

$n$	Procedimiento	Cobertura real	Ancho medio
50	Intervalo t para la media	91,43 %	510.476
50	Bootstrap percentil para la media	90,70 %	482.289
50	Orden estadístico para la mediana	98,69 %	400.632
200	Intervalo t para la media	92,50 %	258.763
200	Bootstrap percentil para la media	92,30 %	253.628
200	Orden estadístico para la mediana	99,68 %	193.263

5 · Un ejemplo

Con los 15.448 ocupados de la EPH que declararon ingreso de la ocupación principal, sin ponderadores para que la cuenta se pueda reproducir:

Paso	Valor
$\bar{x}$	$990.201
$s$	$1.003.821
$n$	15.448
$EE = s/\sqrt{n}$	$8.076
$t_{0{,}975;\,15447}$	1,960
Margen de error	$15.831
IC 95 %	$974.370 – $1.006.032

El ingreso medio de la ocupación principal se estimó en $990.201 (IC 95 %: $974.370 – $1.006.032; n = 15.448).

6 · Cuándo no usarlo

Con una distribución muy asimétrica, un intervalo para la media puede ser técnicamente correcto y sustantivamente engañoso: informa la precisión de un número que no describe bien al conjunto.

Con el ingreso —asimetría 5,46 con ponderadores— el intervalo de arriba es válido, y aun así la mediana describe mejor a la población. Lo razonable es informar las dos cosas, cada una con su medida de incertidumbre.

Y como muestra la tabla de la sección 4, no es solo una cuestión de qué describe mejor: con muestras chicas, el intervalo para la mediana cumple lo que promete y el de la media no.

7 · Errores frecuentes

• Usar $z$ con muestras chicas. Produce intervalos demasiado angostos.
• Usar $n$ en vez de $n-1$ grados de libertad.
• Olvidar la raíz de $n$. Es el error de cálculo más común: se arma el intervalo con $s$ en lugar de $s/\sqrt{n}$ y queda absurdamente ancho.
• No verificar la forma de la distribución con muestras chicas.
• Aplicarlo a datos de encuestas complejas sin declarar el diseño: el intervalo queda demasiado angosto.
• Interpretarlo como probabilidad sobre $\mu$. Ver interpretación correcta.
• Informar el intervalo sin el $n$.
• Suponer que el bootstrap resuelve la asimetría. El percentil cubre 90,70 % donde el t cubre 91,43 %: hereda el mismo problema.

8 · En el software

# R — la función estándar
t.test(datos$ingreso)
t.test(datos$ingreso, conf.level = 0.99)$conf.int

# Con diseño complejo
library(survey)
confint(svymean(~ingreso, dis))

# Python
from scipy import stats
stats.t.interval(0.95, len(x) - 1, loc=x.mean(), scale=stats.sem(x))

Excel:    =PROMEDIO(rango) ± INTERVALO.CONFIANZA.T(0,05; DESVEST.M(rango); n)
SPSS:     Analizar › Comparar medias › Prueba T para una muestra
          (el IC de la diferencia aparece en la salida)
InfoStat: Estadísticas › Inferencia basada en una muestra › Media

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