Distribución lognormal

1 · Definición

Una variable $X$ es lognormal si su logaritmo es normal:

$$\ln X \sim N(\mu, \sigma) \;\Longleftrightarrow\; X \sim \text{LN}(\mu, \sigma)$$

Solo toma valores positivos, es asimétrica a la derecha y tiene una cola larga.

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2 · Por qué aparece

Por el mismo argumento que la normal, corrido una operación. El teorema central del límite dice que una suma de muchos efectos chicos tiende a normal. Si los efectos se multiplican en lugar de sumarse, el logaritmo convierte el producto en suma, esa suma tiende a normal, y la variable original queda lognormal.

$$X = A_1 \cdot A_2 \cdots A_k$$ $$\ln X = \sum_i \ln A_i$$

Por eso aparece donde los efectos son proporcionales:

• Ingresos y precios, que se mueven en porcentajes: un aumento del 20 % multiplica, no suma.
• Tiempos hasta un evento en procesos con muchas etapas.
• Concentraciones y mediciones biológicas —peso de órganos, títulos de anticuerpos, cargas virales—, donde la variación es multiplicativa.
• Tamaño de empresas, de ciudades, de archivos.

3 · Sus parámetros no son su media ni su desvío

Es el error más caro del tema. $\mu$ y $\sigma$ son la media y el desvío del logaritmo, no de la variable. Los de la variable salen de estas fórmulas:

$$E(X) = e^{\mu + \sigma^{2}/2}$$ $$\text{Me}(X) = e^{\mu} \qquad \text{Mo}(X) = e^{\mu - \sigma^{2}}$$ $$CV = \sqrt{e^{\sigma^{2}} - 1}$$

Esa misma cuenta tiene un nombre: $e^{\mu}$ es la media geométrica de los datos. En una lognormal, la media geométrica estima la mediana.

4 · ¿El ingreso es lognormal?

Es el ejemplo de manual, y conviene verlo con datos en vez de repetirlo. Ajustando una lognormal al ingreso de la ocupación principal de la EPH:

	Observado	Lognormal ajustada
Media	1.104.227	1.169.454
Mediana	900.000	779.782
Modo	—	346.699
CV	0,963	1,118
Asimetría	5,46	4,75

El ajuste usa $\mu = 13{,}567$ y $\sigma = 0{,}900$, que son la media y el desvío del logaritmo del ingreso.

La prueba de fuego: mirar el logaritmo

Si el ingreso fuera lognormal, su logaritmo tendría que ser normal, o sea asimetría 0 y curtosis en exceso 0. Da esto:

Del logaritmo del ingreso	Valor	Si fuera lognormal
Asimetría	−0,767	0
Curtosis en exceso	1,637	0

Cuantil por cuantil se ve dónde falla:

Percentil	Observado	Lognormal	Error
5	150.000	177.352	+18,2 %
10	240.000	245.973	+2,5 %
25	500.000	424.862	−15,0 %
50	900.000	779.782	−13,4 %
75	1.400.000	1.431.193	+2,2 %
90	2.000.000	2.472.059	+23,6 %
99	5.014.047	6.332.472	+26,3 %

Y sin embargo, comparada con la normal

	Normal ajustada	Lognormal
Percentil 5	−644.439	177.352
$P(X < 0)$	14,95 %	0

La otra candidata natural es la gamma. Predice justamente el logaritmo asimétrico a izquierda que se observa, y con estos mismos datos acierta la mediana con un 2 % de error. A cambio, se queda corta en la cola, donde la lognormal se pasa.

5 · Trabajar en logaritmos

Lo que se hace en la práctica no es tanto usar la densidad lognormal como transformar y trabajar del otro lado:

1. Se toma $\ln X$.
2. Se hace todo lo habitual sobre esa escala —media, intervalos, regresión, pruebas—, donde los supuestos de normalidad son razonables.
3. Se vuelve exponenciando, sabiendo que lo que vuelve es la mediana y que las diferencias se leen como porcentajes.

Ver transformación de variables para el procedimiento y sus límites, que incluyen un detalle importante: el logaritmo no existe en cero, y los ingresos nulos o los conteos con ceros obligan a decidir algo antes de transformar.

6 · Errores frecuentes

• Creer que $\mu$ es la media de $X$. Es la media del logaritmo, y $e^{\mu}$ es la mediana.
• Exponenciar el promedio de los logaritmos y llamarlo media. Da la mediana, un 41,6 % más chica en el caso del ingreso argentino.
• Dar por hecho que un dato positivo y asimétrico es lognormal. Hay que mirar el logaritmo: si queda asimétrico, no lo es.
• Aplicar el logaritmo con ceros o negativos. No está definido, y sumar una constante arbitraria cambia los resultados.
• Comparar medias de logaritmos como si fueran diferencias. En esa escala las diferencias son cocientes.
• Olvidar volver a la escala original al informar. Un lector no interpreta “13,57” como un ingreso.

7 · En el software

# R — ojo: meanlog y sdlog son los del LOGARITMO
dlnorm(1e6, meanlog = 13.567, sdlog = 0.900)
qlnorm(0.5, 13.567, 0.900)          # 779782, la mediana
exp(13.567 + 0.900^2 / 2)           # 1169454, la media

# Ajustar por momentos del logaritmo
mu <- mean(log(x)); s <- sd(log(x))

# La prueba de fuego
moments::skewness(log(x))           # ¿da cerca de 0?

# Python — scipy usa s = sigma y scale = exp(mu)
from scipy import stats
import numpy as np
stats.lognorm.median(s=0.900, scale=np.exp(13.567))
stats.lognorm.mean(s=0.900, scale=np.exp(13.567))
stats.skew(np.log(x))

Excel:    =DISTR.LOGNORM.N(x; media_log; desv_log; VERDADERO)
          =INV.LOGNORM(p; media_log; desv_log)

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