Prueba exacta de Fisher

1 · Cuándo se usa

Cuando el chi-cuadrado no cumple sus condiciones: alguna frecuencia esperada menor a 5, típicamente por muestra chica o por un evento poco frecuente.

2 · Cómo funciona

Fijados los totales de filas y columnas, la probabilidad de cada tabla posible sigue una distribución hipergeométrica:

$$P = \frac{\dbinom{a+b}{a}\dbinom{c+d}{c}}{\dbinom{n}{a+c}}$$

para la tabla

	$a$	$b$
	$c$	$d$

El valor p es la suma de las probabilidades de todas las tablas tan o menos probables que la observada.

3 · Un ejemplo

Un ensayo piloto con 20 pacientes:

	Mejoró	No mejoró	Total
Tratamiento	8	2	10
Control	3	7	10
Total	11	9	20

Las frecuencias esperadas son 5,5 y 4,5 en cada fila: el chi-cuadrado está en el límite de sus condiciones y corresponde Fisher.

$$OR = \frac{8 \times 7}{2 \times 3} = 9{,}33 \qquad p = 0{,}070 \text{ (bilateral)}$$

Los dos odds ratios, y sus intervalos

fisher.test de R no informa el odds ratio muestral sino el condicional de máxima verosimilitud, que se calcula de otra manera. Cuánto difieren, acá:

	Estimación	IC 95 %
OR muestral $(8 \times 7)/(2 \times 3)$	9,33	1,19 a 72,99
OR condicional de MV, el de fisher.test	8,15	0,88 a 127,01

4 · Fisher y el chi-cuadrado comparados

	Chi-cuadrado	Fisher
Tipo	aproximación	exacta
Condición	esperadas $\ge 5$	ninguna
Tablas	cualquier tamaño	2×2 (extensible, con costo)
$n$ grande	rápido	costoso pero posible
Carácter	—	algo conservadora

Con $n$ grande los dos coinciden. Con $n$ chico no, y bastante menos de lo que suele decirse. Sobre la tabla del ejemplo:

Prueba	$p$	Decisión
Chi-cuadrado sin corrección	0,0246	rechaza
Chi-cuadrado con Yates	0,0722	no rechaza
Fisher	0,0698	no rechaza

5 · La discusión sobre el condicionamiento

Fisher fija los dos márgenes, y hay un debate largo sobre si eso corresponde cuando el diseño no los fijó realmente —en el ejemplo, el investigador fijó 10 y 10 por grupo, pero no cuántos iban a mejorar—.

Como consecuencia, la prueba es conservadora: su tasa real de error tipo I queda por debajo del $\alpha$ nominal. “Algo de potencia” es la manera suave de decirlo. Acá está el tamaño real del problema, calculado exacto sumando sobre todas las tablas posibles, con dos muestras binomiales independientes y nominal del 5 %:

$n_1$, $n_2$	$p$	$\chi^2$	Fisher	mid-p
10, 10	0,5	0,0422	0,0128	0,0422
10, 10	0,1	0,0090	0,0011	0,0090
20, 20	0,3	0,0533	0,0248	0,0450
20, 10	0,5	0,0520	0,0256	0,0516
30, 30	0,5	0,0519	0,0274	0,0519
50, 50	0,5	0,0569	0,0352	0,0569

Y lo que eso cuesta, en el diseño del ejemplo —10 y 10— contra un efecto verdadero de 0,80 contra 0,30:

Prueba	Potencia
Chi-cuadrado sin corrección	0,622
Chi-cuadrado con Yates	0,426
Fisher	0,426
Fisher con mid-p	0,622

6 · Errores frecuentes

• Usar chi-cuadrado con esperadas chicas.
• Verificar la condición sobre las frecuencias observadas. La regla es sobre las esperadas.
• Reportar solo el valor p. Con muestras chicas el odds ratio y su IC son imprescindibles: el IC ancho es la información principal.
• Usarla con datos apareados. Va McNemar, o su versión exacta.
• Concluir que no hay efecto porque no se rechazó. Con $n = 20$ la potencia de Fisher contra un efecto de cincuenta puntos es 0,43.
• Elegir entre Fisher, Yates y el chi-cuadrado después de ver los datos. Sobre la tabla del ejemplo dan 0,070, 0,072 y 0,025.
• Creer que “exacta” quiere decir “más precisa”. Quiere decir que el valor p se calcula sin aproximar, no que la prueba sea mejor: su $\alpha$ real puede ser del 0,11 %.
• Aplicarla a tablas grandes sin advertir el costo computacional.

7 · En el software

# R
tabla <- matrix(c(8, 3, 2, 7), nrow = 2)
fisher.test(tabla)
#  p-value = 0.06978
#  odds ratio: el condicional de máxima verosimilitud, con su IC

fisher.test(tabla, alternative = "greater")     # unilateral

(8 * 7) / (2 * 3)                               # el OR muestral: 9.33

# mid-p: no viene de fábrica
epitools::ormidp.test(8, 2, 3, 7)
exact2x2::exact2x2(tabla, midp = TRUE)

# Python
from scipy import stats
odds, p = stats.fisher_exact([[8, 2], [3, 7]])

# El OR condicional de MV y su IC exacto, que es lo que hay que reportar
from scipy.stats.contingency import odds_ratio
r = odds_ratio([[8, 2], [3, 7]])       # 8.15
r.confidence_interval(0.95)            # 0.88 a 127.01

SPSS:     aparece automáticamente en Tablas cruzadas cuando la tabla es 2×2

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