Prueba exacta de Fisher

1 · Cuándo se usa

Cuando el chi-cuadrado no cumple sus condiciones: alguna frecuencia esperada menor a 5, típicamente por muestra chica o por un evento poco frecuente.

2 · Cómo funciona

Fijados los totales de filas y columnas, la probabilidad de cada tabla posible sigue una distribución hipergeométrica:

$$P = \frac{\dbinom{a+b}{a}\dbinom{c+d}{c}}{\dbinom{n}{a+c}}$$

para la tabla

	$a$	$b$
	$c$	$d$

El valor p es la suma de las probabilidades de todas las tablas tan o menos probables que la observada.

3 · Un ejemplo

Un ensayo piloto con 20 pacientes:

	Mejoró	No mejoró	Total
Tratamiento	8	2	10
Control	3	7	10
Total	11	9	20

Las frecuencias esperadas son 5,5 y 4,5 en cada fila: el chi-cuadrado está en el límite de sus condiciones y corresponde Fisher.

$$OR = \frac{8 \times 7}{2 \times 3} = 9{,}33 \qquad p = 0{,}070 \text{ (bilateral)}$$

4 · Fisher y el chi-cuadrado comparados

	Chi-cuadrado	Fisher
Tipo	aproximación	exacta
Condición	esperadas $\ge 5$	ninguna
Tablas	cualquier tamaño	2×2 (extensible, con costo)
$n$ grande	rápido	costoso pero posible
Carácter	—	algo conservadora

Con $n$ grande los dos coinciden. Hoy, con software, usar Fisher siempre en tablas 2×2 es una opción perfectamente defendible: no necesita verificar condiciones.

5 · La discusión sobre el condicionamiento

Fisher fija los dos márgenes, y hay un debate largo sobre si eso corresponde cuando el diseño no los fijó realmente —en el ejemplo, el investigador fijó 10 y 10 por grupo, pero no cuántos iban a mejorar—.

Como consecuencia, la prueba es conservadora: su tasa real de error tipo I suele quedar por debajo del $\alpha$ nominal, o sea que pierde algo de potencia. Existen alternativas —la prueba de Barnard, la mid-p— pero Fisher sigue siendo el estándar por convención y disponibilidad.

6 · Errores frecuentes

• Usar chi-cuadrado con esperadas chicas.
• Verificar la condición sobre las frecuencias observadas. La regla es sobre las esperadas.
• Reportar solo el valor p. Con muestras chicas el odds ratio y su IC son imprescindibles: el IC ancho es la información principal.
• Usarla con datos apareados. Va McNemar, o su versión exacta.
• Concluir que no hay efecto porque no se rechazó. Con $n = 20$ la potencia es mínima.
• Aplicarla a tablas grandes sin advertir el costo computacional.

7 · En el software

# R
tabla <- matrix(c(8, 3, 2, 7), nrow = 2)
fisher.test(tabla)
#  p-value = 0.06978
#  odds ratio: el condicional de máxima verosimilitud, con su IC

fisher.test(tabla, alternative = "greater")     # unilateral

(8 * 7) / (2 * 3)                               # el OR muestral: 9.33

# Python
from scipy import stats
odds, p = stats.fisher_exact([[8, 2], [3, 7]])

SPSS:     aparece automáticamente en Tablas cruzadas cuando la tabla es 2×2

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