V de Cramér y coeficiente phi

1 · Qué resuelven

El chi-cuadrado crece con el tamaño de la muestra, así que no se puede usar para comparar la intensidad de la asociación entre dos tablas. Phi y la V lo normalizan.

$$\phi = \sqrt{\frac{\chi^{2}}{n}} \qquad V = \sqrt{\frac{\chi^{2}}{n \cdot (k-1)}}$$

donde $k$ es el menor entre la cantidad de filas y de columnas.

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2 · Cuál usar

Medida	Cuándo
Phi	solo tablas 2×2
V de Cramér	cualquier tamaño, incluidas las 2×2

Phi en tablas mayores a 2×2 puede superar 1 —su techo es $\sqrt{k-1}$, justo lo que la V divide—, y por eso no se usa ahí. La V sirve siempre, así que es la recomendación por defecto.

3 · El ejemplo

Con $\chi^2 = 866{,}4$ y $n = 13.864$ en una tabla 2×2:

$$V = \phi = \sqrt{\frac{866{,}4}{13.864}} = 0{,}250$$

Una asociación entre pequeña y mediana, según las referencias que se ven más abajo. Y a diferencia del chi-cuadrado, este número no cambiaría si la misma tabla se hubiera observado con 1.386 casos, con todas las celdas divididas por diez: es la propiedad que lo vuelve comparable.

La tabla es de casos de la muestra, sin ponderar. Con el ponderador (PONDERA) la V da 0,256: como no depende de la escala, se calcula igual sobre los conteos expandidos. El chi-cuadrado, en cambio, no: sobre esos conteos da 629.485, porque trata a 9,6 millones de personas como si fueran casos relevados, y no sirve como prueba.

4 · Phi es, literalmente, una correlación

No es una medida nueva inventada para tablas: es la correlación de Pearson de siempre, aplicada a las dos variables codificadas como 0 y 1.

Se puede comprobar con esta misma tabla. Codificando “hasta secundario incompleto” como 1 (las 29 personas sin instrucción quedan afuera de la tabla) y “no registrado” como 1, y calculando la correlación sobre esas dos columnas de ceros y unos, el resultado es 0,25: exactamente el phi.

En el ejemplo, $\phi^2 = 0{,}0625$: la variación compartida es el 6,25 %, no el 25 %.

Esa equivalencia también explica una de sus limitaciones. Como toda correlación, phi mide asociación lineal entre los dos indicadores, y con más de dos categorías por variable no hay una única forma de codificarlas con números: de ahí que haga falta la V, que abandona la idea de dirección y se queda solo con la intensidad.

5 · Cómo se interpreta

Las referencias de Jacob Cohen se fijaron para una medida emparentada, $w$, que equivale a $V\sqrt{k-1}$. Por eso los umbrales de la V bajan a medida que la tabla crece:

$k$ (el menor entre filas y columnas)	Pequeña	Mediana	Grande
2 (incluye las 2×2)	0,10	0,30	0,50
3	0,07	0,21	0,35
4	0,06	0,17	0,29

En una tabla de 3×5, una V de 0,25 ya es una asociación mediana; en una 2×2, queda por debajo.

6 · Lo que no dice

No tiene dirección. Una V de 0,25 no dice qué categoría va con cuál: eso hay que leerlo en los porcentajes condicionales. Es una limitación heredada del chi-cuadrado.

No es un porcentaje. Una V de 0,25 no significa “25 % de asociación” ni “explica el 25 %”. Es un número en una escala de 0 a 1, nada más.

No viene con precisión. Como cualquier estadístico, tiene error muestral, y conviene acompañarla de un intervalo de confianza. Se calcula por bootstrap o con aproximaciones; en una 2×2, como phi es una correlación, sirve la de Fisher. En el ejemplo, las dos dan prácticamente lo mismo: de 0,23 a 0,27.

Está inflada en muestras chicas. La V muestral tiende a dar más que la de la población, sobre todo con pocos casos y tablas grandes. Existe una versión corregida, propuesta por Wicher Bergsma en 2013, que conviene usar en esos casos.

Ignora el orden. Si las categorías son ordinales, la V no lo aprovecha.

7 · Las otras medidas de asociación nominal

Lambda da 0 cuando la categoría más frecuente es la misma en todos los grupos, aunque los porcentajes cambien mucho de un grupo a otro: por eso se usa poco.

8 · Errores frecuentes

• Usar phi en tablas mayores a 2×2.
• Leer la V como un porcentaje.
• Leerla contra la escala de 0 a 1 con marginales muy desbalanceados, donde el máximo alcanzable está bastante por debajo de 1.
• Reportar solo el valor p sin ninguna medida de intensidad.
• Informarla sin intervalo de confianza cuando la muestra es chica, ni sin la corrección por sesgo.
• Calcular el chi-cuadrado sobre los conteos expandidos por el ponderador. La V sale bien; la prueba, no.
• Aplicar los umbrales de Cohen sin considerar el campo.
• Usarla con variables ordinales desperdiciando el orden.
• Interpretarla como causal.

9 · En el software

# R
library(rcompanion)
cramerV(tabla)                  # 0.250
cramerV(tabla, ci = TRUE)       # con intervalo de confianza por bootstrap
cramerV(tabla, bias.correct = TRUE)   # corregida por sesgo (Bergsma)

# A mano. correct = FALSE: en las 2×2, chisq.test() aplica por defecto la
# corrección de Yates, y con pocos casos la V cambia
sqrt(chisq.test(tabla, correct = FALSE)$statistic /
     (sum(tabla) * (min(dim(tabla)) - 1)))

# Con el ponderador: la V, sí; el valor p de esta prueba, no
tw <- xtabs(PONDERA ~ educacion + registrado, datos)
sqrt(chisq.test(tw, correct = FALSE)$statistic / (sum(tw) * (min(dim(tw)) - 1)))

# Comprobar que phi es la correlación de las dummies
cor(as.numeric(educacion == "Hasta sec. incompleto"),
    as.numeric(registrado == "No"))

# Python
import numpy as np
from scipy import stats
chi2 = stats.chi2_contingency(tabla, correction=False)[0]
V = np.sqrt(chi2 / (tabla.sum() * (min(tabla.shape) - 1)))

# Directo (scipy 1.7 o posterior)
stats.contingency.association(tabla, method="cramer")

# Con el ponderador: la misma cuenta sobre la tabla ponderada
tw = pd.crosstab(datos["educacion"], datos["registrado"],
                 values=datos["PONDERA"], aggfunc="sum").fillna(0).to_numpy()
chi2 = stats.chi2_contingency(tw, correction=False)[0]
np.sqrt(chi2 / (tw.sum() * (min(tw.shape) - 1)))

Excel:    no tiene función propia. Con la tabla observada en B2:C3:
          esperadas   =SUMA($B2:$C2)*SUMA(B$2:B$3)/SUMA($B$2:$C$3)  (en E2:F3)
          chi-cuad.   =SUMAPRODUCTO((B2:C3-E2:F3)^2/E2:F3)
          V           =RAIZ(chi / (SUMA(B2:C3) * (MIN(FILAS(B2:C3); COLUMNAS(B2:C3)) - 1)))
SPSS:     Tablas cruzadas › Estadísticos › Phi y V de Cramer

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