Chi-cuadrado de bondad de ajuste

1 · Qué contrasta

Si una distribución de frecuencias observada es compatible con una distribución teórica.

$$H_0: \text{los datos siguen la distribución propuesta}$$ $$\chi^{2} = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^{2}}{E_i} \qquad gl = k - 1 - m$$

donde $k$ es la cantidad de categorías y $m$ la cantidad de parámetros estimados a partir de los datos.

2 · Cómo se calculan las esperadas

$$E_i = n \times p_i$$

donde $p_i$ es la probabilidad que la hipótesis asigna a cada categoría.

Hipótesis	$p_i$
Uniformidad	$1/k$ para todas
Proporciones teóricas conocidas	las del modelo
Ajuste a una distribución	calculadas con la distribución propuesta

3 · Los grados de libertad

Es donde más se confunde:

$$gl = k - 1 - m$$

Se resta 1 siempre, porque fijado el total, la última frecuencia queda determinada. Y se resta $m$ por cada parámetro estimado con los mismos datos.

Prueba	$gl$
Uniformidad con 6 categorías	$6 - 1 = 5$
Ajuste a Poisson, estimando $\lambda$	$k - 1 - 1$
Ajuste a normal, estimando $\mu$ y $\sigma$	$k - 1 - 2$

La fórmula vale menos de lo que parece

Hay una condición escondida: $gl = k - 1 - m$ solo es exacto si los parámetros se estimaron de los datos ya agrupados. Si se estiman de los datos crudos —que es lo que hace cualquiera, y lo que hace el software—, el estadístico no sigue ninguna de las dos chi-cuadrado: queda entre ambas.

Medido con 40.000 muestras normales de $n = 200$ agrupadas en 8 intervalos equiprobables, donde la nula es cierta por construcción:

Grados de libertad usados	Valor crítico	Rechazo real
$k - 1 - m = 5$	11,07	6,01 %
$k - 1 = 7$	14,07	1,98 %

4 · Un ejemplo

¿Se reparten uniformemente los asalariados de la EPH entre los seis niveles educativos?

Nivel educativo	Observado	Esperado
Primario incompleto	264	2.310,7
Primario completo	1.332	2.310,7
Secundario incompleto	1.921	2.310,7
Secundario completo	4.729	2.310,7
Superior incompleto	1.987	2.310,7
Superior completo	3.631	2.310,7
Total	13.864	13.864

$$\chi^{2} = 5.623{,}9 \qquad gl = 5 \qquad p < 0{,}001$$

Se rechaza con enorme holgura: la distribución educativa está lejos de ser uniforme. El valor crítico con 5 gl es 11,07, y el estadístico lo supera quinientas veces.

Un ejemplo con una nula creíble

La pregunta que sí tiene sentido: ¿la composición educativa de los asalariados de Gran Catamarca es la misma que la del resto del país? Acá la nula es perfectamente plausible, y las proporciones esperadas no salen de un modelo teórico sino de los otros 13.400 casos.

Nivel educativo	Observado	Esperado	% Catamarca	% resto
Primario incompleto	7	8,9	1,5	1,9
Primario completo	38	44,8	8,2	9,6
Secundario incompleto	44	65,0	9,5	13,9
Secundario completo	166	158,0	35,8	34,1
Superior incompleto	63	66,6	13,6	14,3
Superior completo	146	120,7	31,5	26,2
Total	464	464	100	100

$$\chi^{2} = 14{,}14 \qquad gl = 5 \qquad p = 0{,}015$$

Se rechaza, pero por poco: el crítico es 11,07. Y la esperada más chica es 8,9, así que la condición se cumple.

5 · Las condiciones

Todas las frecuencias esperadas $\ge 5$. La regla clásica; algunas versiones la relajan a que ninguna sea menor a 1 y que al menos el 80 % supere 5.

Conteos, no porcentajes ni promedios. El estadístico depende del $n$: si se lo calcula sobre porcentajes, el resultado carece de sentido.

Observaciones independientes, cada caso en una sola categoría.

Si alguna esperada queda por debajo del umbral, la salida habitual es agrupar categorías contiguas —lo que reduce los grados de libertad— o usar una prueba exacta.

6 · Como prueba de normalidad

Se puede usar para contrastar el ajuste a una normal, agrupando en intervalos. En la práctica casi no se usa para eso, y conviene ver por qué con números. Potencia con $n = 100$, 20.000 réplicas por celda, con intervalos equiprobables:

Población	$\chi^2$, 5 int.	10 int.	20 int.	Shapiro-Wilk
Normal (debería dar 5 %)	7,6 %	5,7 %	5,5 %	4,7 %
t de 5 gl	0,338	0,208	0,157	0,559
Uniforme	0,642	0,361	0,787	0,998
Lognormal	0,999	1,000	1,000	1,000
Exponencial	0,939	1,000	1,000	1,000

7 · Errores frecuentes

• Calcularlo sobre porcentajes.
• Olvidar restar los parámetros estimados en los grados de libertad. Y saber que restarlos tampoco arregla del todo: con $\mu$ y $\sigma$ estimados de los datos crudos, el nivel real queda en 6 %.
• Rechazar y no mirar los residuos. El estadístico global no dice qué categoría falla; los residuos estandarizados, sí.
• Elegir la cantidad de intervalos después de ver el resultado, al usarlo como prueba de ajuste a una distribución continua.
• Aplicarlo con esperadas menores a 5.
• Usar las frecuencias observadas en el denominador. Van las esperadas.
• Hacerlo bilateral. Es unilateral por derecha.
• Concluir que la distribución “es” la teórica porque no se rechazó. Solo significa que no hay evidencia suficiente en contra.
• Aplicarlo a datos con medidas repetidas del mismo sujeto.

8 · En el software

# R — uniformidad
obs <- c(264, 1332, 1921, 4729, 1987, 3631)
chisq.test(obs)

# Con proporciones teóricas propias
chisq.test(obs, p = c(0.05, 0.10, 0.15, 0.35, 0.15, 0.20))

chisq.test(obs)$expected     # verificar la condición de las esperadas
chisq.test(obs)$stdres       # residuos: dónde está la diferencia

# Python
from scipy import stats
stats.chisquare([264, 1332, 1921, 4729, 1987, 3631])

Excel:    =PRUEBA.CHICUAD(rango_observado; rango_esperado)

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