Chi-cuadrado de bondad de ajuste

1 · Qué contrasta

Si una distribución de frecuencias observada es compatible con una distribución teórica.

$$H_0: \text{los datos siguen la distribución propuesta}$$ $$\chi^{2} = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^{2}}{E_i} \qquad gl = k - 1 - m$$

donde $k$ es la cantidad de categorías y $m$ la cantidad de parámetros estimados a partir de los datos.

2 · Cómo se calculan las esperadas

$$E_i = n \times p_i$$

donde $p_i$ es la probabilidad que la hipótesis asigna a cada categoría.

Hipótesis	$p_i$
Uniformidad	$1/k$ para todas
Proporciones teóricas conocidas	las del modelo
Ajuste a una distribución	calculadas con la distribución propuesta

3 · Los grados de libertad

Es donde más se confunde:

$$gl = k - 1 - m$$

Se resta 1 siempre, porque fijado el total, la última frecuencia queda determinada. Y se resta $m$ por cada parámetro estimado con los mismos datos.

Prueba	$gl$
Uniformidad con 6 categorías	$6 - 1 = 5$
Ajuste a Poisson, estimando $\lambda$	$k - 1 - 1$
Ajuste a normal, estimando $\mu$ y $\sigma$	$k - 1 - 2$

4 · Un ejemplo

¿Se reparten uniformemente los asalariados de la EPH entre los seis niveles educativos?

Nivel educativo	Observado	Esperado
Primario incompleto	264	2.310,7
Primario completo	1.332	2.310,7
Secundario incompleto	1.921	2.310,7
Secundario completo	4.729	2.310,7
Superior incompleto	1.987	2.310,7
Superior completo	3.631	2.310,7
Total	13.864	13.864

$$\chi^{2} = 5.623{,}9 \qquad gl = 5 \qquad p < 0{,}001$$

Se rechaza con enorme holgura: la distribución educativa está lejos de ser uniforme. El valor crítico con 5 gl es 11,07, y el estadístico lo supera quinientas veces.

5 · Las condiciones

Todas las frecuencias esperadas $\ge 5$. La regla clásica; algunas versiones la relajan a que ninguna sea menor a 1 y que al menos el 80 % supere 5.

Conteos, no porcentajes ni promedios. El estadístico depende del $n$: si se lo calcula sobre porcentajes, el resultado carece de sentido.

Observaciones independientes, cada caso en una sola categoría.

Si alguna esperada queda por debajo del umbral, la salida habitual es agrupar categorías contiguas —lo que reduce los grados de libertad— o usar una prueba exacta.

6 · Como prueba de normalidad

Se puede usar para contrastar el ajuste a una normal, agrupando en intervalos. En la práctica casi no se usa para eso: Shapiro-Wilk y Anderson-Darling son mucho más potentes y no dependen de cómo se elijan los intervalos, que es su principal debilidad acá.

7 · Errores frecuentes

• Calcularlo sobre porcentajes.
• Olvidar restar los parámetros estimados en los grados de libertad.
• Aplicarlo con esperadas menores a 5.
• Usar las frecuencias observadas en el denominador. Van las esperadas.
• Hacerlo bilateral. Es unilateral por derecha.
• Concluir que la distribución “es” la teórica porque no se rechazó. Solo significa que no hay evidencia suficiente en contra.
• Aplicarlo a datos con medidas repetidas del mismo sujeto.

8 · En el software

# R — uniformidad
obs <- c(264, 1332, 1921, 4729, 1987, 3631)
chisq.test(obs)

# Con proporciones teóricas propias
chisq.test(obs, p = c(0.05, 0.10, 0.15, 0.35, 0.15, 0.20))

chisq.test(obs)$expected     # verificar la condición de las esperadas

# Python
from scipy import stats
stats.chisquare([264, 1332, 1921, 4729, 1987, 3631])

Excel:    =PRUEBA.CHICUAD(rango_observado; rango_esperado)

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