Variables aleatorias y distribuciones

Notas · 1

Pensada para 90 a 120 minutos. Es la clase que une las dos mitades del curso: las distribuciones de hoy son los modelos con los que, desde la semana que viene, se razona sobre las muestras.

Notas · 2

Se esperan 10 · 0,556 = 5,56: es la esperanza de una binomial. Pero el valor más probable, 6, sale apenas el 24,1 % de las veces. Que se espere un valor no quiere decir que sea probable: el resto de la clase es para describir todo lo que puede salir.

Notas · 3

La semana 2 describió datos con tablas y gráficos; hoy se hace lo mismo con lo que todavía no pasó: la distribución de una variable aleatoria es la tabla de frecuencias de la población, o de infinitas repeticiones.

Notas · 5

Se escribe con mayúscula, X, y sus valores con minúscula, x. El experimento es elegir un hogar al azar; la variable, cuántas personas ocupadas tiene.

En una continua, la probabilidad de un valor exacto es cero: lo que tiene probabilidad es un intervalo. Por eso P(X ≤ a) y P(X < a) son iguales en una continua, y no en una discreta.

Notas · 6

Cada barra es una probabilidad: P(X = 1) = 169 / 429. Son todas mayores o iguales que cero y suman 1: las dos condiciones de cualquier función de probabilidad.

Ningún hogar de la muestra tiene 6 ocupados, y uno tiene 7: en la población seguramente hay hogares con 6. Esta distribución es la de los hogares encuestados, tomada como si fuera la población.

Notas · 7

Es la frecuencia relativa acumulada de la semana 2, ahora como probabilidad. Las tablas de la binomial y de la normal dan justamente F.

Notas · 9

Con las probabilidades se suma x · P(X = x); con las cantidades de hogares, se suma x · hogares y se divide por el total al final. Es lo mismo y evita los redondeos.

El valor 6 no aparece porque ningún hogar tiene seis ocupados: su término es cero.

Notas · 10

La esperanza es la media de la población: si se repitiera muchas veces el experimento de elegir un hogar, el promedio de ocupados se acercaría a 1,471. Que no sea un número entero no es un problema: es un promedio, no un hogar.

La fórmula E(X²) − E(X)² es la más cómoda a mano. La varianza también se puede calcular como Σ (x − μ)² · P(X = x), como en la semana 3.

Notas · 11

Si cada ocupado aporta un ingreso fijo de b pesos, el ingreso del hogar tiene esperanza b · E(X) y desvío b · σ.

La segunda es la base de la binomial, que viene ahora: una suma de n ensayos independientes.

Notas · 13

Las condiciones de la binomial: un número fijo de ensayos, dos resultados en cada uno, la misma probabilidad de éxito en todos e independencia entre ellos. Si alguna falla, no es binomial.

Elegir 10 personas de toda la ciudad es casi lo mismo que con reposición: la población es tan grande que sacar una no cambia la proporción de las demás.

Notas · 14

Por ejemplo, P(X = 6) = C(10, 6) · 0,556⁶ · 0,444⁴ = 210 · … = 0,241. La tabla de la binomial y la calculadora evitan la cuenta.

Con p cerca de 0,5 la distribución es casi simétrica; con p chica se amontona a la izquierda.

Notas · 15

Y la probabilidad de que haya como mucho 4: F(4) = 24,9 %. «Como mucho», «al menos» y «más de» son las expresiones en que más se equivocan los estudiantes: conviene traducir cada una a ≤ o ≥ antes de calcular.

Notas · 16

La media es λ = 0,61 muertes por cuerpo y por año. Con ese único número, la Poisson predice casi exactamente cuántos cuerpos-año tuvieron 0, 1, 2… muertes. Bortkiewicz lo publicó como «la ley de los números pequeños».

Los esperados son 200 · P(X = k). Por ejemplo, 200 · e^(−0,61) = 108,7.

Notas · 17

La Poisson es el límite de una binomial con n muy grande y p muy chica: muchos soldados, cada uno con una probabilidad mínima de morir por una coz. Por eso sirve para sucesos raros.

Que la varianza sea igual a la media es una prueba práctica: si en los datos la varianza es mucho mayor, la Poisson no es el modelo.

Notas · 19

La campana es simétrica alrededor de μ, que es a la vez media, mediana y moda. σ es la distancia de μ a los puntos donde la curva cambia de curvatura. El área total bajo la curva es 1.

Entre μ − σ y μ + σ, de 400 a 600 puntos, queda el 68,3 % del área: es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar tenga un puntaje en ese intervalo.

Notas · 20

Es lo que permite usar una sola tabla para todas las normales: se mide en desvíos. El 95 % entre ±2σ (más exactamente ±1,96σ) reaparece en los intervalos de confianza.

Notas · 21

Es el mismo puntaje z de la semana 3, ahora con μ y σ de la población. La tipificación convierte cualquier pregunta sobre una normal en una pregunta sobre Z.

Notas · 22

Para z = 1,50: fila 1,5, columna 0,00, Φ = 0,9332. Para z = 1,28: fila 1,2, columna 0,08, Φ = 0,8997.

Para un z negativo se usa la simetría: Φ(−z) = 1 − Φ(z). Algunas tablas traen también los negativos.

Notas · 23

La tabla da el área a la izquierda; la pregunta pide la de la derecha, y por eso se resta de 1. Dibujar la curva y sombrear lo que se pide antes de buscar en la tabla evita la mitad de los errores.

Entre dos valores se restan dos áreas: P(400 < X < 650) = Φ(1,50) − Φ(−1).

Notas · 24

Es la pregunta al revés: se conoce el área y se busca el valor. En el cuerpo de la tabla se busca 0,90; el más cercano es 0,8997, en z = 1,28. Se destipifica: x = μ + z · σ = 500 + 1,28 · 100 = 628.

Con la calculadora, que no redondea z, da 628,2. La diferencia es el redondeo de la tabla.

Notas · 25

El percentil 90 deja el 90 % del área a su izquierda. El mismo razonamiento da cualquier percentil, y es el que se usa para buscar los valores críticos de la inferencia.

Notas · 27

Media np = 55,6 y desvío √(np(1 − p)) = 4,97. La forma de campana aparece porque la binomial es una suma de muchos ensayos independientes: es el teorema central del límite, que viene la semana que viene.

Notas · 28

Las condiciones habituales para aproximar: np ≥ 5 y n(1 − p) ≥ 5. Acá 55,6 y 44,4: se cumplen con margen.

Sin la corrección, el error es de 0,0232; con ella, de 0,0009. Hoy la calculadora da la exacta, pero la aproximación explica por qué la normal aparece en toda la inferencia sobre proporciones.

Notas · 29

Que una variable sea continua no la hace normal: el ingreso, por ejemplo, es muy asimétrico, como se vio en la semana 3. El práctico tiene un ejercicio para discutir cuál corresponde en cada caso.

Notas · 30

Para el práctico: la tabla de la normal impresa y calculadora. El simulador de distribuciones sirve para ver cómo cambia cada una con sus parámetros.