Función de probabilidad (caso discreto)

1 · Definición

La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta asigna a cada valor posible la probabilidad de que la variable tome ese valor:

$$p(x) = P(X = x)$$

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También se la llama función de cuantía o función de masa de probabilidad.

2 · Las dos condiciones

Para que una función sea de probabilidad tiene que cumplir:

$$p(x) \ge 0 \quad \text{para todo } x$$ $$\sum_{\text{todos los } x} p(x) = 1$$

Ninguna probabilidad puede ser negativa, y la suma de todas tiene que dar exactamente 1: algún valor tiene que salir.

Esas dos condiciones son la forma de verificar si una tabla propuesta es válida, y es el ejercicio típico de examen.

3 · Un ejemplo construido

Con $X$ = cantidad de caras al tirar tres monedas, y contando los 8 resultados igualmente probables:

$x$	Resultados	$p(x)$
0	1	1/8 = 0,125
1	3	3/8 = 0,375
2	3	3/8 = 0,375
3	1	1/8 = 0,125
Total	8	1,000

Las dos condiciones se cumplen: todas las probabilidades son positivas y suman 1.

De esta tabla sale todo lo demás:

• $P(X = 2) = 0{,}375$.
• $P(X \ge 2) = 0{,}375 + 0{,}125 = 0{,}5$.
• La esperanza es 1,5 caras.

4 · Un ejemplo que no se construye: se estima

En las monedas la función sale de contar casos igualmente probables. Con datos reales no hay simetría que invocar: la función se estima. La cantidad de personas por hogar en los aglomerados urbanos:

$x$	$p(x)$	Acumulada
1	0,2174	0,2174
2	0,2437	0,4611
3	0,2049	0,6660
4	0,1694	0,8354
5	0,0951	0,9305
6	0,0379	0,9684
7	0,0182	0,9866
8	0,0057	0,9923
9 o más	0,0077	1,0000

5 · Cuando los valores son infinitos

El soporte —el conjunto de valores con probabilidad positiva— puede ser infinito y la suma seguir dando 1, porque es una serie convergente. La cantidad de intentos hasta el primer éxito con $p = 0{,}3$:

$x$	$p(x)$	Acumulada
1	0,3000	0,3000
2	0,2100	0,5100
3	0,1470	0,6570
…	…	…
7	0,0353	0,9176
8 o más	0,0824	1,0000

6 · Cómo se representa

Con un gráfico de bastones: una línea vertical en cada valor posible, de altura igual a su probabilidad.

No se usan barras pegadas como en un histograma, porque los valores intermedios no existen: entre 1 y 2 caras no hay nada. Esa separación visual es la misma que distingue al gráfico de barras del histograma.

7 · La relación con las frecuencias

Es el puente entre la probabilidad y lo que se observa:

	Frecuencias observadas	Función de probabilidad
De dónde sale	De los datos	Del modelo
Notación	$f_i$	$p(x)$
Suma	1	1
Cambia entre muestras	Sí	No

Si se tiran tres monedas mil veces, la proporción de veces que salen 2 caras se va a parecer a 0,375 — y cuantas más tiradas, más cerca. Esa convergencia es la ley de los grandes números.

8 · Errores frecuentes

• Que las probabilidades no sumen 1. Es la verificación básica y la que más se saltea.
• Probabilidades negativas o mayores a 1. Imposibles por definición.
• Confundir $p(x)$ con la acumulada. $p(2)$ es la probabilidad de exactamente 2; $P(X \le 2)$ es la de 2 o menos.
• Usarla con variables continuas. Ahí va la función de densidad, y $P(X = x) = 0$.
• Olvidar valores posibles. Si la tabla no incluye todos los valores que la variable puede tomar, la suma no da 1 y el modelo está incompleto.
• Calcular la esperanza sobre una tabla con la cola agrupada.
• Dibujarla con barras pegadas. Sugiere continuidad donde no la hay.

9 · En el software

# R — la función de probabilidad de una binomial
dbinom(0:3, size = 3, prob = 0.5)
# 0.125 0.375 0.375 0.125

# Verificación
sum(dbinom(0:3, 3, 0.5))    # 1

# Con datos: la estimada, con ponderadores
prop.table(xtabs(PONDERA ~ IX_TOT, hogares))

# Python
from scipy import stats
stats.binom.pmf(range(4), n=3, p=0.5)

Excel:    =DISTR.BINOM.N(x; n; p; FALSO)    FALSO da la puntual
                                            VERDADERO da la acumulada

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