Variable aleatoria

1 · Definición

Una variable aleatoria es una función que asigna un número a cada resultado posible de un experimento aleatorio:

$$X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$$

6:34

2 · Para qué sirve

El espacio muestral de un experimento puede estar formado por cualquier cosa: caras y cecas, personas sanas o enfermas, colores. Sobre eso no se puede calcular una media ni un desvío.

La variable aleatoria traduce cada resultado a un número, y a partir de ahí se puede aplicar todo el aparato de la Estadística: esperanza, varianza, distribuciones, inferencia.

3 · Un ejemplo

Experimento: tirar tres monedas.

Espacio muestral (8 resultados posibles):

CCC   CCX   CXC   XCC   CXX   XCX   XXC   XXX

Variable aleatoria $X$ = cantidad de caras. Cada resultado se traduce a un número:

Resultado	$X$
XXX	0
CXX, XCX, XXC	1
CCX, CXC, XCC	2
CCC	3

Ahora $X$ toma valores 0, 1, 2 y 3, y a cada uno le corresponde una probabilidad. Eso ya es una distribución de probabilidad.

4 · Discretas y continuas

Discreta. Toma un conjunto numerable de valores, con “huecos” entre ellos. Cantidad de caras, número de hijos, llamadas por hora. Su comportamiento se describe con una función de probabilidad, que asigna una probabilidad a cada valor.

Continua. Puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Peso, tiempo, ingreso. Su comportamiento se describe con una función de densidad.

5 · Ni una ni otra: las mixtas

La dicotomía es cómoda y la realidad la rompe seguido. El ingreso total individual de la EPH, entre las personas de 10 años y más:

Probabilidad de ingreso exactamente cero	0,2861
El resto, repartido de manera continua	0,7139

Ponderado con PONDII, el ponderador que el INDEC indica para el ingreso total: reparte el peso de quienes no respondieron. Si se los descarta y se pondera con el general, el cero sube a 0,35, porque los que no responden suelen tener ingreso.

Es la forma habitual de muchos datos económicos y de salud: gasto de bolsillo, horas extra, días de internación, consumo de un servicio. Lo que corresponde es tratarlas en dos partes —la probabilidad del cero y la distribución condicional de los positivos—, que es exactamente lo que hacen los modelos de dos etapas.

6 · Transformar una variable aleatoria

Si $X$ es una variable aleatoria y $g$ una función, entonces $Y = g(X)$ también es una variable aleatoria: es la composición de dos funciones.

Eso, que parece un tecnicismo, es lo que habilita medio curso:

Transformación	Para qué
$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$	tipificar
$Y = \ln X$	simetrizar un ingreso
$Y = a + bX$	cambiar de unidades
$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum X_i$	la media muestral, que es una variable aleatoria más

7 · Notación

Es una convención que confunde al principio y conviene fijar:

Símbolo	Qué es
$X$	La variable aleatoria (mayúscula)
$x$	Un valor concreto que puede tomar (minúscula)
$P(X = x)$	La probabilidad de que $X$ valga $x$
$P(X \le x)$	La probabilidad de que no supere $x$

"$P(X = 2) = 0{,}375$" se lee: la probabilidad de que la variable tome el valor 2 es 0,375.

8 · La diferencia con una variable estadística

Se parecen y no son lo mismo:

	Variable estadística	Variable aleatoria
Describe	Datos ya observados	Un experimento por realizarse
Se resume con	Frecuencias observadas	Probabilidades teóricas
Su centro	La media $\bar{x}$	La esperanza $E(X)$
Pertenece a	La descriptiva	La probabilidad

Y están conectadas: cuando el número de observaciones crece, las frecuencias relativas observadas se acercan a las probabilidades teóricas. Esa conexión es la ley de los grandes números, y es lo que hace que la probabilidad sirva para describir el mundo.

9 · Errores frecuentes

• Confundir la variable con sus valores. $X$ es la función; $x$ es un número.
• Creer que “aleatoria” significa impredecible. Significa que su valor depende del azar, no que no se pueda decir nada: justamente se puede describir su distribución completa.
• Buscar $P(X = x)$ en una variable continua. Es cero. Hay que preguntar por intervalos.
• Confundir discreta con “pocos valores”. Una discreta puede tomar infinitos valores —todos los enteros—; lo que la define es que sean numerables y separados.
• Forzar una variable mixta dentro de una de las dos categorías, en vez de modelar el cero aparte.
• Tratar una variable estadística como aleatoria sin declarar el modelo. Decir que el ingreso “es normal” es una suposición sobre el mecanismo, no un dato observado.

@misc{estadistica_ar_variable_aleatoria,
  author       = {Montivero, Jorge Luis},
  title        = {{Variable aleatoria}},
  year         = {2026},
  howpublished = {\url{https://estadistica.ar/conceptos/variable-aleatoria}},
  note         = {estadistica.ar. Consultado el \today},
  urldate      = {2026-09-25}
}