Simulador
Explorador de distribuciones
Doce distribuciones, de la Bernoulli a la F. Movés los parámetros y ves qué cambia: la forma, el centro, la dispersión y la probabilidad de cualquier intervalo.
La línea llena es la media; la punteada, la mediana. La franja gris va de una media menos un desvío a una media más un desvío.
P(4 ≤ X ≤ 8) = 0,7796
Binomial. Éxitos en n ensayos independientes. Con n grande y p lejos de los extremos se parece a una normal —superponela—; con p chico queda pegada al cero y asimétrica, y ahí la aproximación normal falla. Ver la entrada →
Discretas y continuas
En una distribución discreta cada valor tiene su probabilidad: la altura de cada barra es P(X = k), y las barras suman 1. En una continua la probabilidad de un valor exacto es cero; lo que tiene probabilidad es un intervalo, y esa probabilidad es el área bajo la curva. Por eso la altura de una densidad puede pasar de 1 —probá una normal con σ = 0,2— sin que nada esté mal: no es una probabilidad.
Con los extremos del intervalo pasa algo parecido. En una discreta, P(2 ≤ X ≤ 5) y P(2 < X < 5) son distintas, porque las barras del 2 y del 5 cuentan o no cuentan. En una continua dan lo mismo. El explorador incluye siempre los extremos.
Parámetros que corren, estiran o cambian la forma
No todos los parámetros hacen lo mismo. En la normal, μ corre la curva y σ la estira, pero la forma no cambia nunca: la asimetría y la curtosis quedan en cero. En la exponencial, λ solo cambia la escala: la asimetría es 2 cualquiera sea λ. En la uniforme continua, a y b solo corren y estiran.
En la t, la chi-cuadrado, la Poisson o la binomial, en cambio, los parámetros cambian la forma misma. Con pocos grados de libertad la chi-cuadrado está pegada al cero y es muy asimétrica; con muchos se vuelve casi simétrica. Mirá la asimetría mientras movés el control: es la cifra que lo resume.
Cuando la media no existe
Poné la t con un grado de libertad. Es la distribución de Cauchy, y tiene colas tan pesadas que su media no existe: la integral que la define no converge. Con dos grados de libertad la media existe, pero la varianza es infinita. No es una rareza de manual: significa que promediar datos de una distribución así no estabiliza nada, porque cada tanto aparece un valor tan extremo que arrastra el promedio.
La F tiene el mismo fenómeno con los grados de libertad del denominador: con ν₂ de 2 o menos la media es infinita, y hace falta ν₂ mayor que 4 para que la varianza sea finita.
La media, la mediana y la cola
En una distribución simétrica la media y la mediana coinciden. En una asimétrica la media se va hacia la cola larga. En la exponencial, la mediana es ln 2 / λ, alrededor del 69 % de la media: la mayoría de los tiempos de espera son más cortos que el promedio. Es la misma razón por la que el ingreso medio de un país queda por encima del de la mayoría de sus habitantes.
La normal como aproximación
Tildá «superponer la normal» en la binomial, la Poisson, la t o la chi-cuadrado, y mové los parámetros. Con n grande y p lejos de 0 y de 1, la binomial queda casi debajo de la curva roja; con p = 0,02 no se le parece nada. La Poisson se acerca a la normal cuando λ crece, la t cuando crecen los grados de libertad, y la chi-cuadrado también, aunque más despacio. Es la forma de ver cuándo una aproximación normal de las que traen los libros es razonable y cuándo no.
Qué curtosis se informa
El explorador informa el exceso de curtosis: la curtosis menos 3, que vale 0 en la normal. Es la convención de SciPy, de Excel y de SPSS. Hay libros que usan la curtosis sin restar, y entonces la normal tiene 3. Antes de comparar dos cifras de curtosis conviene saber cuál de las dos es.