Tamaño de muestra para estimar una media

1 · La fórmula

Antes de salir a relevar hay que decidir cuántos casos hacen falta. Pocos dan una estimación tan imprecisa que no sirve para nada; demasiados gastan tiempo y dinero en una precisión que nadie pidió. El cálculo del tamaño de muestra resuelve ese equilibrio con una lógica que es la misma para cualquier parámetro:

1. Se fija cuánto error se tolera: el margen de error $e$.
2. Se fija con qué confianza: el nivel, que da el valor $z$.
3. Se estima cuánto varían los datos: para una media, el desvío $\sigma$.
4. Se busca el $n$ más chico que cumple con las tres cosas.

Esta entrada lo hace para una media; la versión para un porcentaje está en tamaño de muestra para una proporción, y los ajustes para poblaciones chicas en tamaño de muestra con población finita.

Se parte del margen de error del intervalo para la media y se despeja $n$:

$$e = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \qquad\Longrightarrow\qquad n = \left( \frac{z \cdot \sigma}{e} \right)^{2}$$

2 · Qué hay que decidir antes

El margen de error $e$. Cuánto error se tolera, en las unidades de la variable. Es la decisión sustantiva: ¿estimar el ingreso medio con ± $10.000 o con ± $50.000? Depende de para qué se va a usar el número.

El nivel de confianza. 95 % por convención, o sea $z = 1{,}96$.

Una estimación previa de $\sigma$. Es el dato que no se tiene, y el que más dudas genera.

3 · De dónde sale $\sigma$

Cuatro caminos, en orden de preferencia:

De un estudio anterior sobre la misma población o una parecida. Es lo mejor.

De una prueba piloto. Treinta casos alcanzan para una estimación de trabajo.

De una fuente pública. Para variables socioeconómicas argentinas, la EPH publica los microdatos y de ahí sale cualquier desvío que haga falta.

Del rango, como último recurso. Si se tiene una idea de los valores mínimo y máximo plausibles:

$$\sigma \approx \frac{\text{rango}}{4}$$

La aproximación viene de que en una distribución normal casi todos los datos caben en cuatro desvíos. Es grosera y sirve para no quedarse sin nada, pero conviene saber cuándo funciona, porque el rango de una muestra crece con $n$:

$n$	Rango medio	La regla estima	Error
10	3,07 $\sigma$	0,77 $\sigma$	−23 %
30	4,08 $\sigma$	1,02 $\sigma$	+2 %
100	5,01 $\sigma$	1,25 $\sigma$	+25 %
1.000	6,48 $\sigma$	1,62 $\sigma$	+62 %

4 · Un ejemplo

Estimar el ingreso medio de la ocupación principal con ± $50.000 de margen y 95 % de confianza. De la EPH sale que $\sigma \approx 1.003.821$:

$$n = \left( \frac{1{,}96 \times 1.003.821}{50.000} \right)^{2} = 1.549$$

Hacen falta unos 1.549 casos. Y si se quisiera ± $25.000:

$$n = \left( \frac{1{,}96 \times 1.003.821}{25.000} \right)^{2} = 6.194$$

Cuatro veces más casos para la mitad de margen. Es la ley de siempre: la precisión mejora con la raíz de $n$.

5 · Los ajustes que faltan

El $n$ que sale de la fórmula es el mínimo teórico. En la práctica hay que corregirlo por tres cosas:

No respuesta. Si se espera un 20 % de no respuesta, hay que relevar $n / 0{,}8$. El $n$ calculado es el que se necesita analizar, no el que se sale a buscar.

Población finita. Si la muestra es una parte grande de la población, el $n$ necesario baja. Ver tamaño de muestra con población finita.

Efecto de diseño. Con conglomerados hay que multiplicar por el deff. Ver efecto de diseño.

Los tres se acumulan, y omitirlos es la causa más frecuente de que una encuesta no alcance la precisión prometida. Sobre el ejemplo de la sección anterior:

Paso	Casos
Fórmula simple, para ± 50.000	1.549
× efecto de diseño de 3,0	4.646
÷ 0,80, porque se espera un 20 % de no respuesta	5.807

6 · Errores frecuentes

• Elegir $n$ sin calcularlo. “300 casos” o “el 10 % de la población” no son criterios.
• No prever la no respuesta.
• Subestimar $\sigma$. Produce una muestra insuficiente.
• Usar rango/4 fuera de su rango de validez. Está calibrada para unos treinta casos: con mil sobrestima un 62 %, y con variables asimétricas erra para los dos lados según qué rango se use.
• Confundir el margen de error con el desvío estándar. Son cosas distintas y entran en lugares distintos de la fórmula.
• Calcular un solo $n$ para un estudio con varios objetivos. Manda el análisis más exigente.
• Ignorar el efecto de diseño.
• Redondear hacia abajo. El $n$ calculado siempre se redondea hacia arriba.

7 · En el software

# R
n_media <- function(sigma, e, conf = 0.95) {
  z <- qnorm(1 - (1 - conf) / 2)
  ceiling((z * sigma / e)^2)
}
n_media(sigma = 1003821, e = 50000)      # 1549

# Por potencia, si el objetivo es comparar y no estimar
power.t.test(delta = 0.3, sd = 1, power = 0.8)

# Python
import math
from scipy import stats
def n_media(sigma, e, conf=0.95):
    z = stats.norm.ppf(1 - (1 - conf) / 2)
    return math.ceil((z * sigma / e) ** 2)

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