Tamaño de muestra para estimar una proporción

1 · La fórmula

Cuando lo que se quiere estimar es un porcentaje —cuántos hogares tienen internet, qué parte de los votantes apoya a un candidato—, la pregunta antes de relevar es cuántos casos hacen falta para que ese porcentaje salga con la precisión que se necesita. La lógica es la misma que para una media: se fija el error que se tolera y se despeja el $n$ que lo garantiza.

El punto de partida es el margen de error del intervalo para una proporción:

$$e = z \sqrt{\frac{p\,(1-p)}{n}}$$

Elevando al cuadrado los dos lados y despejando $n$:

$$n = \frac{z^{2} \; p\,(1-p)}{e^{2}}$$

Cada parte de la fórmula es una decisión o un dato:

Símbolo	Qué es	Valor habitual
$n$	Los casos que hay que analizar	Lo que se calcula
$z$	El valor de la normal según el nivel de confianza	1,96 para el 95 %
$p$	La proporción que se espera encontrar	0,5 si no se sabe (sección 2)
$e$	El margen de error tolerado, en proporción	0,05 para ± 5 puntos

2 · Por qué p = 0,5

La fórmula tiene un problema de origen: pide $p$, que es justamente lo que se quiere estimar. Si se lo conociera, no haría falta la encuesta. Hay dos salidas: usar una estimación previa, de un estudio anterior o de una prueba piloto, o, cuando no hay ninguna, poner 0,5.

Lo segundo es lo que se hace casi siempre, y no es por pereza: 0,5 es el valor que maximiza $p(1-p)$ y por lo tanto el $n$ necesario. Es decir, con 0,5 se calcula el tamaño para el peor caso posible.

$p$	$p(1-p)$	$n$ para ± 5 %
0,10	0,090	139
0,25	0,188	289
0,50	0,250	385
0,75	0,188	289
0,90	0,090	139

Usar 0,5 garantiza la precisión buscada sea cual sea la proporción real. Es la decisión conservadora y la correcta cuando no hay información previa.

Si sí hay una estimación confiable —de un estudio anterior o de un piloto— usarla permite una muestra más chica. Pero si la estimación se equivoca por debajo, la precisión final es peor que la prometida, y conviene ver cuánto peor. Buscando $e = \pm\,5$ puntos y suponiendo distintos valores de $p$, cuando la proporción real resulta ser 0,50:

Se supuso	$n$ que sale	Margen real obtenido
0,10	139	± 8,3 pp
0,20	246	± 6,3 pp
0,30	323	± 5,5 pp
0,50	385	± 5,0 pp

3 · La tabla que conviene tener a mano

Con 95 % de confianza y $p = 0{,}5$:

Margen de error	$n$
± 10 pp	97
± 7 pp	196
± 5 pp	385
± 4 pp	601
± 3 pp	1.068
± 2 pp	2.401
± 1 pp	9.604

De acá sale por qué casi todas las encuestas nacionales usan alrededor de mil casos: es donde ± 3 puntos se consigue a un costo razonable. Bajar a ± 1 punto cuesta nueve veces más.

Eso sorprende a todo el mundo y es correcto: lo que determina la precisión es el tamaño de la muestra, no qué proporción de la población representa. La única excepción es cuando la muestra es una parte grande de la población, y ahí entra la corrección por población finita.

4 · Un ejemplo

Estimar qué proporción de los hogares de una localidad tiene acceso a internet, con ± 5 puntos y 95 % de confianza, sin información previa:

$$n = \frac{1{,}96^{2} \times 0{,}5 \times 0{,}5}{0{,}05^{2}} = 384{,}2 \rightarrow 385$$

Si se espera un 20 % de no respuesta, hay que salir a relevar 482 hogares para terminar con 385 analizables.

Y si el diseño es por conglomerados con un deff estimado de 1,5, el $n$ necesario sube a 578 antes de ajustar por no respuesta, o 723 después.

El número de la fórmula es el punto de partida, no el final.

5 · Si hay subgrupos, el cálculo es otro

Es el error que más veces hunde el diseño de una tesis, porque se descubre tarde. El $n$ de la fórmula alcanza para una estimación. Si además hay que informar por barrio, por grupo etario o por rama, cada uno necesita su propio tamaño:

Objetivo	Casos
Solo el total, ± 5 pp	385
Total y 2 subgrupos, ± 5 pp cada uno	770
Total y 4 subgrupos, ± 5 pp cada uno	1.540
Total y 6 subgrupos, ± 5 pp cada uno	2.310

6 · Errores frecuentes

• Usar el $p$ que uno espera encontrar sin fundamento. Si se equivoca por debajo, la muestra queda chica.
• Creer que $n$ depende de $N$. No depende, salvo poblaciones chicas.
• No prever la no respuesta.
• Ignorar el efecto de diseño.
• Redondear hacia abajo. Siempre hacia arriba.
• Aplicar el $n$ calculado para el total a cada subgrupo. Cada subgrupo necesita su propio $n$ y el total es la suma: cuatro subgrupos con ± 5 pp son 1.540 casos, no 385.
• Suponer un $p$ chico sin fundamento. Planificar con 0,10 y encontrar 0,50 deja el margen en ± 8,3 pp en vez de ± 5.
• Confundir puntos porcentuales con porcentaje al fijar $e$. Un margen de ”± 5 %” sobre una proporción del 20 % puede significar ± 5 pp o ± 1 pp según cómo se lo lea. En la fórmula van puntos.

7 · En el software

# R
n_prop <- function(e, p = 0.5, conf = 0.95) {
  z <- qnorm(1 - (1 - conf) / 2)
  ceiling(z^2 * p * (1 - p) / e^2)
}
n_prop(0.03)        # 1068
n_prop(0.05, p = 0.2)

# Python
import math
from scipy import stats
def n_prop(e, p=0.5, conf=0.95):
    z = stats.norm.ppf(1 - (1 - conf) / 2)
    return math.ceil(z**2 * p * (1 - p) / e**2)

Excel:    =REDONDEAR.MAS(INV.NORM.ESTAND(0,975)^2*0,25/0,03^2; 0)

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