IC para la diferencia de proporciones

1 · La fórmula

$$(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \;\pm\; z \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$$

El resultado está en puntos porcentuales, no en porcentaje: pasar de 20 % a 25 % es una diferencia de 5 puntos porcentuales, no del 5 %.

2 · El error que esta entrada busca evitar

Es un razonamiento que se hace todo el tiempo y es incorrecto. Dos proporciones pueden tener intervalos que se solapan y una diferencia perfectamente significativa.

La razón es que el error estándar de la diferencia es menor que la suma de los dos errores individuales: $\sqrt{a^2 + b^2} < a + b$. Comparar por superposición es un criterio innecesariamente conservador.

La regla: para decidir sobre una diferencia, hay que calcular el intervalo de la diferencia. No alcanza con mirar los dos intervalos.

3 · Las tres formas de comparar dos proporciones

Medida	Fórmula	Cuándo se usa
Diferencia	$p_1 - p_2$	Es la más interpretable: cuántos puntos
Riesgo relativo	$p_1 / p_2$	En salud, con estudios de cohorte
Odds ratio	$\dfrac{p_1/(1-p_1)}{p_2/(1-p_2)}$	Casos y controles, regresión logística

Las tres describen la misma comparación y comunican cosas distintas. Un riesgo relativo de 2 puede corresponder a pasar del 1 % al 2 % —una diferencia de 1 punto— o del 30 % al 60 % —de 30 puntos—. La diferencia absoluta es la que dice cuánta gente está involucrada.

Ver riesgo relativo y odds ratio.

4 · Un ejemplo, y cómo se informa

Proporción de ocupados con nivel superior o universitario, por sexo, según la EPH del primer trimestre de 2026:

	Casos	Proporción	IC 95 % individual
Mujeres	4.168 de 8.878	46,9 %	45,9 – 48,0
Varones	3.288 de 10.695	30,7 %	29,9 – 31,6
Diferencia		16,2 pp	14,8 – 17,6

Entre las personas ocupadas, el 46,9 % de las mujeres alcanzó el nivel superior o universitario, contra el 30,7 % de los varones: una diferencia de 16,2 puntos porcentuales (IC 95 %: 14,8 – 17,6; n = 19.573).

Tres elementos: las dos proporciones, la diferencia con su intervalo, y el tamaño de cada grupo.

5 · Condiciones y alternativas

La fórmula de la sección 1 se apoya en que la diferencia de dos proporciones muestrales tiene, aproximadamente, forma normal. Esa aproximación es buena cuando cada grupo tiene suficientes casos en las dos categorías. Es la misma condición de la proporción simple, aplicada ahora a cada grupo por separado:

$$n_1\hat{p}_1 \ge 10, \quad n_1(1-\hat{p}_1) \ge 10, \quad n_2\hat{p}_2 \ge 10, \quad n_2(1-\hat{p}_2) \ge 10$$

En el ejemplo de la EPH las cuatro cuentas dan entre 3.288 y 7.407 casos: se cumplen con muchísima holgura. Basta, en cambio, con que un grupo tenga 30 casos y una proporción del 10 % para que haya solo 3 casos en una categoría y la condición falle.

Cuando no se cumplen —muestras chicas, proporciones cercanas a 0 o a 1— corresponde otra cosa, según lo que se busque.

Para el intervalo, el método de Newcombe. Calcula primero el intervalo de Wilson de cada proporción, $(l_1, u_1)$ y $(l_2, u_2)$, y arma con ellos los dos límites de la diferencia:

$$\text{inferior} = \hat{p}_1 - \hat{p}_2 - \sqrt{(\hat{p}_1 - l_1)^2 + (u_2 - \hat{p}_2)^2}$$ $$\text{superior} = \hat{p}_1 - \hat{p}_2 + \sqrt{(u_1 - \hat{p}_1)^2 + (\hat{p}_2 - l_2)^2}$$

Es la misma idea de sumar varianzas, pero con las distancias de cada intervalo de Wilson, que no son simétricas y nunca se salen de [0, 1]. Con los datos de la EPH da 14,8 – 17,6, igual que la fórmula clásica: con muestras grandes coinciden, y la diferencia aparece en los extremos.

Para decidir si hay diferencia, la prueba exacta de Fisher. No da un intervalo, sino un valor p calculado sin ninguna aproximación normal, y es la alternativa a la prueba para dos proporciones cuando hay pocos casos.

Igual que con una sola proporción, la fórmula clásica se porta mal justo donde más se la necesita. Para medir cuánto, se calcula su cobertura real: la probabilidad de que el intervalo contenga a la diferencia verdadera $p_1 - p_2$, que debería ser del 95 %. Como los dos grupos son binomiales independientes, esa cobertura no hace falta simularla: se puede calcular exacta, recorriendo todos los resultados posibles de las dos muestras y sumando la probabilidad de los que dan un intervalo que acierta. En cada fila se fijan los tamaños y las dos proporciones poblacionales:

$n_1 = n_2$	$p_1$	$p_2$	Wald	Newcombe
30	0,50	0,30	93,78 %	95,00 %
15	0,40	0,20	93,11 %	95,15 %
20	0,20	0,10	94,33 %	96,47 %
50	0,08	0,03	94,02 %	97,66 %
30	0,10	0,05	92,98 %	98,07 %

6 · Errores frecuentes

• Decidir por superposición de intervalos. El error central del tema.
• Confundir puntos porcentuales con porcentaje. Pasar de 20 % a 25 % es +5 pp y +25 % en términos relativos. Las dos cifras son correctas y dicen cosas distintas.
• Informar solo el riesgo relativo. Sin la diferencia absoluta, un efecto chico parece grande.
• Restar los errores estándar. Se suman las varianzas.
• Usar la fórmula clásica con proporciones extremas. Con 0,10 contra 0,05 y treinta casos por grupo, cubre el 92,98 % donde Newcombe cubre el 98,07 %.
• Comparar proporciones de grupos que no son independientes. Si son las mismas personas medidas dos veces, va la prueba de McNemar, no esta fórmula.

7 · En el software

# R
prop.test(c(x1, x2), c(n1, n2))       # devuelve el IC de la diferencia

# Mejor comportamiento en los extremos
library(DescTools)
BinomDiffCI(x1, n1, x2, n2, method = "scorecc")

# Python
from statsmodels.stats.proportion import confint_proportions_2indep
confint_proportions_2indep(x1, n1, x2, n2, method="wald")
confint_proportions_2indep(x1, n1, x2, n2, method="newcomb")   # Newcombe

SPSS:     Tablas cruzadas › Estadísticos › Riesgo
          (da riesgo relativo y odds ratio con sus IC)

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