Calculadora
Puntaje z y percentiles
Convertir entre escalas, ubicar a alguien en su grupo, y entender por qué «el percentil 90» de los mismos datos da distinto en Excel, en SPSS y en R.
La media y el desvío hacen falta para ir y venir del puntaje bruto; para convertir entre las demás escalas no se usan.
| Puntaje zCuántos desvíos por encima o por debajo de la media | 1,200 |
|---|---|
| Puntaje brutoCon media 100,00 y desvío 15,00 | 118,00 |
| Puntaje TMedia 50, desvío 10 | 62,0 |
| Escala CIMedia 100, desvío 15 | 118,0 |
| NCECoincide con el percentil en 1, 50 y 99 | 75,3 |
| EstaninoDe 1 a 9, franjas de medio desvío | 7 |
| DecatipoDe 1 a 10, franjas de medio desvío | 8 |
| PercentilSuponiendo una distribución normal | 88,5 |
El área sombreada es el 88,5 % de una normal. Es el percentil de esta persona si la variable es normal en el grupo de referencia. Si no lo es, la pestaña «Un valor en su grupo» muestra cuánto se aleja.
El puntaje z
Un puntaje z dice a cuántos desvíos está un valor de la media de su grupo: z = (x − media) / desvío. Un z de 1,5 es un desvío y medio por encima; uno de −0,5, medio desvío por debajo. Sirve para comparar cosas que se miden en unidades distintas —una nota de matemática y una de lengua, una talla y un peso— llevándolas a la misma escala.
Todas las otras escalas normalizadas son el mismo z con otra media y otro desvío, elegidos para evitar decimales y números negativos: la T de los tests de personalidad (50 ± 10), la escala de CI (100 ± 15), el NCE de la evaluación educativa. Los estaninos y los decatipos cortan el z en franjas de medio desvío y numeran las franjas: son escalas gruesas a propósito, para no sugerir más precisión de la que la medición tiene.
El percentil que sale de un z supone normalidad
Pasar de un z a un percentil —«z = 1 es el percentil 84»— es exacto si la variable es normal en el grupo de referencia. Si no lo es, el número puede estar muy lejos del lugar que la persona ocupa de verdad en su grupo.
Pasa con cualquier variable asimétrica: tiempos de espera, ingresos, cantidad de errores, días de internación. En una distribución con cola larga a la derecha, la media queda por encima de la mayoría de los casos, así que un valor igual a la media —z = 0, «percentil 50» según la normal— en realidad supera a bastante más de la mitad del grupo.
La pestaña «Un valor en su grupo» pone las dos cifras lado a lado: el percentil que da la normal y el que sale de contar los datos. Cuando se separan, hay que informar el que sale de contar.
Los empates y el rango percentil
Con puntajes enteros —cantidad de respuestas correctas, una escala de 1 a 10— es normal que varias personas tengan el mismo valor. Entonces «el porcentaje del grupo que queda por debajo» es ambiguo: se puede no contar a los empatados, contarlos a todos, o contar la mitad. La convención de los tests es la última, y es la que muestra la calculadora, junto con las otras dos para que se vea cuánto cambia.
Nueve definiciones de percentil
El percentil 90 de una muestra de veinte datos no es un número bien definido: cae entre dos datos, y hay que decidir cómo interpolar. Hyndman y Fan, en un artículo de 1996, contaron nueve maneras en uso y las numeraron. La numeración quedó: R las implementa todas con quantile(x, p, type = …).
Cada programa eligió una. R, NumPy, pandas y el PERCENTIL.INC de Excel usan la 7. Excel con PERCENTIL.EXC, SPSS y el módulo statistics de Python usan la posición de la 6, aunque no tratan igual las colas: cuando el percentil pedido queda antes del primer dato o después del último, la 6 de R repite el mínimo o el máximo, Python extrapola por fuera de los datos y Excel devuelve un error.
Con muchos datos las nueve dan casi lo mismo. Con pocos —que es lo habitual en una tesis, en un curso o en un departamento chico— la diferencia se nota, y dos personas que calcularon «el mismo» percentil con programas distintos obtienen números distintos sin que ninguna se haya equivocado. Lo que corresponde es decir qué definición se usó.
La pestaña «El percentil de una muestra» calcula las nueve y marca las dos que más se usan. Los valores coinciden con los de R en los nueve tipos: el verificador del sitio los compara dígito por dígito.