Distribución exponencial

1 · Definición

La distribución exponencial modela el tiempo entre eventos que ocurren de manera independiente a una tasa media constante $\lambda$:

$$f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad \text{para } x \ge 0$$

Su acumulada es especialmente simple:

$$F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$$

2 · Media y varianza

$$E(X) = \frac{1}{\lambda} \qquad \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^{2}} \qquad \sigma = \frac{1}{\lambda}$$

Media y desvío coinciden: su coeficiente de variación vale siempre 1. Es una distribución muy dispersa.

3 · Su forma

Siempre la misma: máxima en cero y decreciendo. No tiene modo interior ni campana.

Eso tiene una consecuencia que suele sorprender: los tiempos cortos son los más probables. Si los pacientes llegan a una guardia cada 15 minutos en promedio, el intervalo más frecuente no es de 15 minutos sino de casi cero.

Es marcadamente asimétrica a la derecha, con mediana siempre menor que la media:

$$\text{Me} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx 0{,}693 \cdot E(X)$$

4 · Un ejemplo

Si a una guardia llegan 4 pacientes por hora, el tiempo entre llegadas es exponencial con $\lambda = 4$ por hora, o sea una media de 15 minutos.

Pregunta	Cálculo	Resultado
¿Llega alguien en los próximos 10 min?	$1 - e^{-10/15}$	0,4866
¿Pasan más de 20 min sin nadie?	$e^{-20/15}$	0,2636
Mediana del tiempo de espera	$0{,}693 \times 15$	10,4 min

La media es 15 minutos, pero la mitad de las esperas son menores a 10,4: el promedio está inflado por unas pocas esperas muy largas.

5 · Falta de memoria

Igual que la geométrica:

$$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$$

Si ya pasaron 10 minutos sin que llegue nadie, la probabilidad de esperar 20 más es exactamente la misma que al principio: 0,2636. Esperar no acerca al evento.

6 · Dónde aparece

• Teoría de colas: tiempo entre llegadas y tiempo de atención.
• Confiabilidad: vida útil de componentes electrónicos sin desgaste —lámparas, circuitos—.
• Análisis de supervivencia: es el modelo de riesgo constante, el caso más simple, y la referencia contra la que se comparan los demás.
• Desintegración radiactiva, el ejemplo físico exacto.

7 · Errores frecuentes

• Confundir tasa con escala. Con media 15 minutos, $\lambda = 1/15$, no 15.
• Mezclar unidades. Si $\lambda$ está por hora, el tiempo tiene que estar en horas.
• Usarla donde hay desgaste o aprendizaje. La falta de memoria es un supuesto muy fuerte.
• Reportar la media como si fuera lo típico. Con asimetría tan marcada, la mediana informa mejor.
• Confundirla con la Poisson. La Poisson cuenta eventos —discreta—; la exponencial mide tiempos —continua—.
• Esperar valores negativos. Solo toma valores desde cero.

8 · En el software

# R — el argumento es la TASA
pexp(10, rate = 1/15)          # P(X ≤ 10) = 0.4866
1 - pexp(20, rate = 1/15)      # P(X > 20) = 0.2636
qexp(0.5, rate = 1/15)         # mediana   = 10.40
rexp(100, rate = 1/15)

# Python — scipy usa ESCALA, no tasa
from scipy import stats
stats.expon.cdf(10, scale=15)   # 0.4866
stats.expon.sf(20, scale=15)    # 0.2636

Excel:    =DISTR.EXP.N(10; 1/15; VERDADERO)

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