Distribución exponencial

1 · Definición

La distribución exponencial modela el tiempo entre eventos que ocurren de manera independiente a una tasa media constante $\lambda$:

$$f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad \text{para } x \ge 0$$

Su acumulada es especialmente simple:

$$F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$$

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2 · Media y varianza

$$E(X) = \frac{1}{\lambda} \qquad \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^{2}} \qquad \sigma = \frac{1}{\lambda}$$

Media y desvío coinciden: su coeficiente de variación vale siempre 1. Es una distribución muy dispersa.

3 · Su forma

Siempre la misma: máxima en cero y decreciendo. No tiene modo interior ni campana.

Eso tiene una consecuencia que suele sorprender: los tiempos cortos son los más probables. Si los pacientes llegan a una guardia cada 15 minutos en promedio, el intervalo más frecuente no es de 15 minutos sino de casi cero.

Es marcadamente asimétrica a la derecha, con mediana siempre menor que la media:

$$\text{Me} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx 0{,}693 \cdot E(X)$$

Y como todos los percentiles son múltiplos fijos de la media, conviene tenerlos a mano:

Percentil	Múltiplo de la media	Con media 15 min
25	0,288	4,3 min
50	0,693	10,4 min
75	1,386	20,8 min
90	2,303	34,5 min
95	2,996	44,9 min

Del otro lado, la probabilidad de superar la media es $e^{-1} = 0{,}368$: el 63 % de las esperas es más corto que el promedio. Superar el doble tiene probabilidad 0,135 y superar el triple, 0,050.

4 · Un ejemplo

Si a una guardia llegan 4 pacientes por hora, el tiempo entre llegadas es exponencial con $\lambda = 4$ por hora, o sea una media de 15 minutos.

Pregunta	Cálculo	Resultado
¿Llega alguien en los próximos 10 min?	$1 - e^{-10/15}$	0,4866
¿Pasan más de 20 min sin nadie?	$e^{-20/15}$	0,2636
Mediana del tiempo de espera	$0{,}693 \times 15$	10,4 min

La media es 15 minutos, pero la mitad de las esperas son menores a 10,4: el promedio está inflado por unas pocas esperas muy largas.

5 · Falta de memoria

Igual que la geométrica:

$$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$$

Si ya pasaron 10 minutos sin que llegue nadie, la probabilidad de esperar 20 más es exactamente la misma que al principio: 0,2636. Esperar no acerca al evento.

6 · La paradoja de la espera

Si a una parada llegan colectivos cada 15 minutos en promedio y uno aparece en un momento cualquiera, ¿cuánto espera? La respuesta intuitiva es 7,5 minutos, la mitad del intervalo. La correcta es 15.

Simulando dos millones de intervalos de media 15 y mirando 500.000 instantes de llegada al azar:

	Minutos
Intervalo medio entre colectivos	14,99
Intervalo en el que cae quien llega	29,94
Lo que le queda por esperar	14,97
Lo que pasó desde el colectivo anterior	14,97

7 · El mínimo de varias exponenciales

Cuando varios procesos independientes compiten y solo interesa el primero que ocurra, el mínimo vuelve a ser exponencial, con tasa igual a la suma de las tasas:

$$\min_i X_i \sim \text{Exp}\left(\sum_i \lambda_i\right)$$

Y la probabilidad de que gane el $i$-ésimo es su parte de la tasa total:

$$P(X_i \text{ gana}) = \frac{\lambda_i}{\sum_j \lambda_j}$$

Con tres corrientes de llegadas de media 15, 20 y 30 minutos:

Corriente	Tasa por minuto	P(ser la primera)
A	0,0667	0,4444
B	0,0500	0,3333
C	0,0333	0,2222
Las tres juntas	0,1500	1,0000

La media del mínimo es $1/0{,}15 = 6{,}67$ minutos —no el promedio de 15, 20 y 30, que sería 21,7—. Las tasas se suman; las medias no se promedian.

Del otro lado está la suma: el tiempo hasta el $k$-ésimo evento no es exponencial sino gamma —la de forma entera se llama Erlang—, y su coeficiente de variación cae como $1/\sqrt{k}$ —1 para el primer evento, 0,45 para el quinto, 0,32 para el décimo—. Esperar muchos eventos es mucho más predecible que esperar uno.

8 · Dónde aparece

• Teoría de colas: tiempo entre llegadas y tiempo de atención.
• Confiabilidad: vida útil de componentes electrónicos sin desgaste —lámparas, circuitos—.
• Análisis de supervivencia: es el modelo de riesgo constante, el caso más simple, y la referencia contra la que se comparan los demás.
• Desintegración radiactiva, el ejemplo físico exacto.

9 · Errores frecuentes

• Confundir tasa con escala. Con media 15 minutos, $\lambda = 1/15$, no 15.
• Mezclar unidades. Si $\lambda$ está por hora, el tiempo tiene que estar en horas.
• Usarla donde hay desgaste o aprendizaje. La falta de memoria es un supuesto muy fuerte.
• Reportar la media como si fuera lo típico. Con asimetría tan marcada, la mediana informa mejor.
• Confundirla con la Poisson. La Poisson cuenta eventos —discreta—; la exponencial mide tiempos —continua—.
• Esperar valores negativos. Solo toma valores desde cero.
• Creer que quien llega al azar espera medio intervalo. Espera la media entera, no la mitad.
• Promediar medias cuando hay procesos en paralelo. Se suman las tasas, y después se invierte.

10 · En el software

# R — el argumento es la TASA
pexp(10, rate = 1/15)          # P(X ≤ 10) = 0.4866
1 - pexp(20, rate = 1/15)      # P(X > 20) = 0.2636
qexp(0.5, rate = 1/15)         # mediana   = 10.40
rexp(100, rate = 1/15)

# El diagnóstico del CV = 1
x <- rexp(10000, rate = 1/15)
sd(x) / mean(x)                # ≈ 1

# La paradoja de la espera, en dos líneas
g <- rexp(2e6, rate = 1/15)    # intervalos
sum(g^2) / sum(g)              # el intervalo donde cae un instante al azar: ≈ 30

# Python — scipy usa ESCALA, no tasa
from scipy import stats
stats.expon.cdf(10, scale=15)   # 0.4866
stats.expon.sf(20, scale=15)    # 0.2636

Excel:    =DISTR.EXP.N(10; 1/15; VERDADERO)

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