Prueba para una proporción

1 · La prueba

Para contrastar si una proporción poblacional difiere de un valor de referencia:

$$H_0: p = p_0 \qquad z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$

Esa asimetría hace que, en casos de frontera, la prueba y el intervalo puedan dar conclusiones contradictorias, no apenas distintas: el caso está medido en la lógica de la prueba —11 de 100 contra $p_0 = 0{,}05$, donde el intervalo de Wald contiene al 0,05 y la prueba lo rechaza con $p = 0{,}006$—.

2 · Su condición de validez

La aproximación normal exige que, bajo $H_0$:

$$n\,p_0 \ge 5 \qquad\text{y}\qquad n\,(1-p_0) \ge 5$$

Si no se cumplen —proporción muy cerca de 0 o de 1, o $n$ chico—, corresponde la prueba binomial exacta, que no aproxima nada: calcula la probabilidad directo con la binomial.

Cumplir la regla no garantiza el nivel

La regla se enuncia como si fuera una frontera. No lo es. Acá están seis combinaciones que cumplen $n\,p_0 = 5$ exactamente, con el $\alpha$ real de la prueba z calculado sumando la binomial sobre la región de rechazo —no simulado—, cuando el declarado es 5 %:

$n$	$p_0$	$n\,p_0$	$\alpha$ real
10	0,50	5	2,15 %
20	0,25	5	6,52 %
25	0,20	5	7,42 %
50	0,10	5	2,97 %
100	0,05	5	3,41 %
500	0,01	5	3,77 %

3 · Un ejemplo

Entre los asalariados de la EPH, 8.679 de 13.864 tienen empleo registrado. ¿La proporción difiere del 60 %?

$$\hat{p} = \frac{8.679}{13.864} = 0{,}6260$$ $$z = \frac{0{,}6260 - 0{,}60}{\sqrt{\dfrac{0{,}60 \times 0{,}40}{13.864}}} = \frac{0{,}0260}{0{,}00416} = 6{,}25$$ $$p < 0{,}001$$

Se rechaza $H_0$. El IC del 95 % es 61,80 % a 63,41 %, que no contiene al 60 %.

4 · Las tres versiones

Versión	Cuándo	Característica
z sin corrección	$n$ grande	la del ejemplo
z con corrección por continuidad	$n$ moderado	resta $1/(2n)$ al numerador; más conservadora
Binomial exacta	$n$ chico o $p_0$ extrema	siempre válida, algo conservadora

prop.test de R aplica la corrección por continuidad por defecto; binom.test hace la exacta.

Con el ejemplo sí coinciden

Versión	$z$	$p$
z sin corrección	6,2514	$4{,}07 \times 10^{-10}$
z con corrección	6,2427	$4{,}30 \times 10^{-10}$
Binomial exacta	—	$3{,}65 \times 10^{-10}$

Con 13.864 casos la corrección resta $1/(2n) = 0{,}000036$ al numerador, o sea nada. Las tres dan lo mismo.

Con $n$ moderado, no

Pero ”$n$ moderado” no quiere decir chico. El caso más incómodo:

$$28 \text{ de } 100 \quad\text{contra}\quad p_0 = 0{,}20$$

Versión	$p$	Decisión con $\alpha = 0{,}05$
z sin corrección	0,0455	rechaza
z con corrección	0,0608	no rechaza
Binomial exacta	0,0595	no rechaza

Por qué la corrección y la exacta son lo mismo

No es coincidencia que en esa tabla den casi igual. La corrección por continuidad es, literalmente, una aproximación a la binomial exacta: con $p_0 = 0{,}5$ las dos definen la misma región de rechazo, y entonces tienen idéntico $\alpha$ e idéntica potencia.

$n = 100$, $p_0 = 0{,}5$	Sin corrección	Con corrección	Exacta
$\alpha$ real	5,69 %	3,52 %	3,52 %
Potencia contra $p = 0{,}62$	0,699	0,624	0,624

5 · Su relación con el chi-cuadrado

La prueba z para una proporción y el chi-cuadrado de bondad de ajuste con dos categorías son la misma prueba:

$$z^{2} = \chi^{2}$$

En el ejemplo, $6{,}25^{2} = 39{,}1$, que es el chi-cuadrado con 1 grado de libertad y el mismo valor p. La única ventaja de la z es que admite versión unilateral.

6 · Errores frecuentes

• Usar $\hat{p}$ en el error estándar en lugar de $p_0$.
• Aplicarla con $np_0 < 5$. Ahí va la exacta.
• Creer que cumplir $np_0 \ge 5$ garantiza el 5 %. Con $np_0 = 5$ el nivel real va de 2,15 % a 7,42 % según la combinación.
• Confundir la proporción con el conteo. El estadístico se calcula sobre la proporción; el conteo va en la binomial.
• Usarla con datos que no son conteos de éxitos independientes.
• Reportar el porcentaje sin el $n$. “El 62,6 %” sobre 13.864 casos y sobre 20 no son comparables.
• Confundir puntos porcentuales con porcentaje. Pasar de 60 % a 62,6 % es 2,6 puntos, o un aumento relativo del 4,3 %.

7 · En el software

# R
prop.test(8679, 13864, p = 0.60)               # con corrección
prop.test(8679, 13864, p = 0.60, correct = FALSE)
binom.test(8679, 13864, p = 0.60)              # exacta

# Unilateral
prop.test(8679, 13864, p = 0.60, alternative = "greater")

# Python
from statsmodels.stats.proportion import proportions_ztest, binom_test
proportions_ztest(8679, 13864, value=0.60, prop_var=0.60)
binom_test(8679, 13864, prop=0.60)

Excel:    no tiene función directa; se calcula el z a mano
          =2*DISTR.NORM.ESTAND.N(-ABS(z); VERDADERO)

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