ANOVA de un factor

1 · Qué resuelve

Comparar las medias de tres o más grupos independientes.

$$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k \qquad H_1: \text{al menos dos difieren}$$

2 · Por qué no alcanza con pruebas t de a pares

Con 6 grupos habría $\binom{6}{2} = 15$ comparaciones. Si cada una se hace al 5 % y las hipótesis nulas fueran ciertas:

$$P(\text{al menos un falso positivo}) = 1 - 0{,}95^{15} = 0{,}537$$

Más de la mitad de las veces aparecería una diferencia inexistente. El ANOVA resuelve el problema haciendo una sola prueba que mantiene el error tipo I en el 5 %.

Esa cuenta, sin embargo, supone que las comparaciones son independientes, y no lo son: las quince comparaciones comparten los mismos seis grupos de datos. Simulando el procedimiento completo con grupos normales de 20 casos y todas las medias iguales —200.000 réplicas—:

Grupos	Comparaciones	Fórmula $1-0{,}95^{m}$	FWER real	ANOVA
3	3	0,143	0,122	0,050
4	6	0,265	0,204	0,050
6	15	0,537	0,365	0,050
10	45	0,901	0,628	0,049

3 · La idea: dos fuentes de variabilidad

El nombre confunde a todo el mundo, así que conviene decirlo de entrada:

El razonamiento: si los grupos tuvieran la misma media poblacional, sus medias muestrales diferirían solo por azar, y esa diferencia sería del mismo orden que la variabilidad dentro de cada grupo. Entonces:

$$F = \frac{\text{variabilidad entre grupos}}{\text{variabilidad dentro de los grupos}}$$

• Si $H_0$ es cierta, las dos estiman lo mismo y $F \approx 1$.
• Si las medias difieren, el numerador crece y $F$ se aleja de 1.

Es una prueba unilateral por derecha: solo los valores grandes contradicen la nula. Ver descomposición de la variabilidad.

4 · El ejemplo

Ingreso de la ocupación principal según los seis niveles educativos, en 15.365 ocupados de la EPH:

Nivel	$n$	Media
Primario incompleto	349	$629.074
Primario completo	1.683	$701.356
Secundario incompleto	2.399	$753.550
Secundario completo	5.075	$917.169
Superior incompleto	2.190	$981.895
Superior completo	3.669	$1.428.475

$$F(5;\, 15.359) = 223{,}23 \qquad p < 10^{-230} \qquad \eta^2 = 0{,}068$$

Se rechaza $H_0$. Al menos dos niveles difieren en su ingreso medio.

La versión de Welch da otra cosa

El bloque de software de más abajo ofrece oneway.test sin decir cuándo importa. Acá importa:

Versión	$F$	gl	$p$
ANOVA clásico	223,2	5; 15.359	$10^{-231}$
ANOVA de Welch	184,5	5; 2.951	$10^{-171}$

Los desvíos por grupo van de $598.292 a $1.317.167 —una razón de varianzas de 4,85—, Levene da $p = 10^{-57}$ y los tamaños de grupo van de 349 a 5.075. El supuesto de homogeneidad de varianzas está roto sin discusión posible.

Cuánto puede llegar a fallar, simulado con estos mismos seis tamaños y estos mismos desvíos, poniendo todas las medias iguales:

Configuración	ANOVA clásico	Welch
La real: el disperso es un grupo grande	3,15 %	5,20 %
Si los grupos grandes fueran los dispersos	1,55 %	4,57 %
Si los grupos chicos fueran los dispersos	18,83 %	4,88 %

5 · Qué hacer después de rechazar

Paso	Herramienta
¿Cuáles grupos difieren?	comparaciones post hoc
¿Cuánto explica el factor?	eta² y omega²
¿Valen los supuestos?	supuestos del ANOVA

En el ejemplo, Tukey revela algo que el $F$ global no muestra. Los tres pares que involucran solo a los niveles más bajos:

Comparación	Diferencia	$p$ de Tukey
Primario incompleto vs Primario completo	$72.281	0,804
Primario incompleto vs Secundario incompleto	$124.475	0,220
Primario completo vs Secundario incompleto	$52.194	0,538
Primario completo vs Secundario completo	$215.813	$10^{-11}$
Superior incompleto vs Superior completo	$446.580	$10^{-11}$

6 · Su relación con otras pruebas

Con la prueba t. Con dos grupos, el ANOVA y la prueba t clásica dan exactamente el mismo resultado: $F = t^2$ y el mismo valor p.

Con la regresión. El ANOVA es un caso particular de regresión lineal con predictores categóricos. En R, aov() y lm() ajustan el mismo modelo y muestran la misma información de dos maneras.

7 · Errores frecuentes

• Hacer pruebas t de a pares en lugar de ANOVA.
• Concluir que todos los grupos difieren.
• Saltar las comparaciones post hoc y afirmar cuál grupo es mayor.
• Reportar solo el $F$ sin tamaño del efecto ni medias por grupo.
• No verificar los supuestos.
• Usarlo con datos apareados. Ahí va ANOVA de medidas repetidas.
• Usarlo con la respuesta categórica. La respuesta tiene que ser cuantitativa; el factor es el categórico.

8 · En el software

# R
modelo <- aov(ingreso ~ factor(nivel_ed), data = d)
summary(modelo)

# Versión de Welch, sin suponer varianzas iguales
oneway.test(ingreso ~ factor(nivel_ed), data = d)

# Como modelo lineal: la misma información
anova(lm(ingreso ~ factor(nivel_ed), data = d))

# Python
from scipy import stats
stats.f_oneway(g1, g2, g3, g4, g5, g6)

import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf
sm.stats.anova_lm(smf.ols("ingreso ~ C(nivel_ed)", data=d).fit())

Excel:    Datos › Análisis de datos › Análisis de varianza de un factor
SPSS:     Analizar › Comparar medias › ANOVA de un factor

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