Eta cuadrado y omega cuadrado

1 · Eta cuadrado

La proporción de la variabilidad total que corresponde al factor:

$$\eta^2 = \frac{SC_{\text{entre}}}{SC_{\text{total}}}$$

Va de 0 a 1 y se interpreta como porcentaje de variabilidad explicada.

2 · Omega cuadrado, que es mejor

$\eta^2$ es un estimador sesgado hacia arriba: sobreestima el efecto poblacional, sobre todo con muestras chicas y muchos grupos.

$$\omega^2 = \frac{SC_{\text{entre}} - (k-1)\,CM_{\text{dentro}}} {SC_{\text{total}} + CM_{\text{dentro}}}$$

Corrige ese sesgo restando lo que el factor explicaría por azar.

	$\eta^2$	$\omega^2$
Sesgo	hacia arriba	prácticamente insesgado
Rango	0 a 1	puede dar negativo
Uso	el más difundido	el recomendable

Cuánto sesgo, con un efecto real presente

Simulación con medias que sí difieren, 20.000 réplicas por fila:

Grupos	$n$ por grupo	$\eta^2$ verdadero	$\eta^2$ medio	$\omega^2$ medio
3	10	0,0400	0,1053	0,0381
4	10	0,0336	0,1069	0,0318
6	10	0,0283	0,1104	0,0276
4	30	0,0336	0,0579	0,0332
4	100	0,0336	0,0407	0,0334

3 · Las referencias de Cohen

Valor	Efecto
0,01	pequeño
0,06	mediano
0,14	grande

Con las mismas advertencias de siempre: son convenciones, y lo que es grande depende del campo. Ver tamaño del efecto.

4 · El ejemplo

$$\eta^2 = \frac{1{,}0522 \times 10^{15}}{1{,}5531 \times 10^{16}} = 0{,}068 \qquad \omega^2 = 0{,}067$$

El nivel educativo explica el 6,8 % de la variabilidad del ingreso.

Con su intervalo: $\eta^2 = 0{,}068$, IC 95 % de 0,060 a 0,075. Con 15.365 casos la estimación es precisa, cosa que casi nunca pasa y que conviene reportar igual.

“Explica el 6,8 %” no es “mejora la predicción un 6,8 %”

Es la confusión más costosa de esta medida, porque el número suena mucho más grande de lo que es. Lo que $\eta^2 = 0{,}068$ implica:

Lectura	Valor
Varianza explicada	6,8 %
Correlación equivalente	0,260
Desvío del ingreso, sin el factor	$1.005.413
Desvío del ingreso, dentro de cada nivel	$970.918
Reducción del error de predicción	3,45 %

5 · Eta cuadrado parcial

Con más de un factor aparece una variante que se confunde constantemente:

$$\eta^2_{\text{parcial}} = \frac{SC_{\text{factor}}}{SC_{\text{factor}} + SC_{\text{error}}}$$

La diferencia con $\eta^2$ es el denominador: el parcial excluye la variabilidad de los otros factores.

Cuánto se separan, sobre el ANOVA de dos factores de la EPH —educación y sexo, en logaritmos—:

Efecto	$\eta^2$ total	$\eta^2$ parcial
Educación	0,0563	0,0591
Sexo	0,0398	0,0424
Interacción	0,0069	0,0076
Suma	0,1030	0,1091

Acá casi no se distinguen, y la razón es que el error se lleva el 90 % de la variabilidad: al sacarlo del denominador queda casi lo mismo. Pero en un diseño experimental con poco error, la diferencia es brutal:

Efecto	$\eta^2$ total	$\eta^2$ parcial
Factor A	0,4228	0,7596
Factor B	0,4430	0,7680
Interacción	0,0003	0,0024
Suma	0,8662	1,5300

6 · Cuál reportar

Situación	Medida
Un solo factor	$\eta^2$ o, mejor, $\omega^2$
Varios factores, interesa el peso en el total	$\eta^2$
Varios factores, interesa el efecto aislado	$\eta^2$ parcial, declarándolo
Diseño experimental	$\omega^2$
Comparación entre dos grupos	d de Cohen

7 · Errores frecuentes

• No reportarlo. Un ANOVA sin tamaño del efecto es un resultado incompleto.
• Confundir $\eta^2$ con $\eta^2$ parcial al comparar con otros estudios.
• Sumar los parciales.
• Aplicar los umbrales de Cohen sin considerar el campo.
• Interpretarlo como causal.
• Usar $\eta^2$ con muestras chicas sin advertir su sesgo. Con seis grupos de diez casos promedia cuatro veces el valor verdadero.
• Leerlo como mejora de la predicción. Un $\eta^2$ de 0,068 reduce el error de predicción un 3,5 %, no un 6,8 %.
• Reportarlo sin intervalo de confianza.

8 · En el software

# R
library(effectsize)
eta_squared(modelo)              # con IC
omega_squared(modelo)
eta_squared(modelo, partial = FALSE)   # el total, con varios factores

# A mano
sce <- summary(modelo)[[1]]$"Sum Sq"[1]
sct <- sum(summary(modelo)[[1]]$"Sum Sq")
sce / sct

# Python
import pingouin as pg
pg.anova(data=d, dv='ingreso', between='nivel_ed', detailed=True)  # trae np2

SPSS:     ANOVA univariante › Opciones › Estimaciones del tamaño del efecto
          (informa eta cuadrado PARCIAL)

@misc{estadistica_ar_eta_cuadrado,
  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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