Prueba t para dos muestras independientes

1 · Cuándo se usa

Para comparar las medias de dos grupos independientes: personas distintas en cada grupo, sin emparejamiento.

$$H_0: \mu_1 = \mu_2 \qquad t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{EE(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)}$$

Lo que cambia entre las dos versiones de la prueba es cómo se calcula ese error estándar.

2 · Las dos versiones

De Welch —varianzas distintas, la que conviene por defecto—:

$$EE = \sqrt{\frac{s_1^{2}}{n_1} + \frac{s_2^{2}}{n_2}}$$

con grados de libertad dados por una fórmula que suele arrojar decimales.

Clásica o pooled —varianzas iguales—:

$$EE = s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} \qquad gl = n_1 + n_2 - 2$$

donde $s_p$ es el desvío combinado, un promedio ponderado de los dos.

3 · Un ejemplo con datos reales

¿Difiere el ingreso de la ocupación principal entre varones y mujeres?

	Varones	Mujeres
$n$	8.364	7.084
Media	$1.123.989	$832.239
$s$	$1.145.718	$775.612

$$EE = \sqrt{\frac{1.145.718^{2}}{8.364} + \frac{775.612^{2}}{7.084}} = 15.552$$ $$t = \frac{291.750}{15.552} = 18{,}76 \qquad gl = 14.760 \qquad p < 0{,}001$$

Se rechaza $H_0$. IC del 95 % para la diferencia: $261.268 a $322.232.

4 · El tamaño del efecto es imprescindible acá

$$d = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p} = \frac{291.750}{993.270} = 0{,}29$$

Un $d$ de 0,29 se considera pequeño. Con 15.448 casos, un efecto pequeño da un valor p astronómicamente chico.

Qué pasa al comparar otra cosa

La prueba contrasta el ingreso mensual, y los dos grupos no trabajan la misma cantidad de horas. Restringiendo a los 14.212 casos con horas declaradas:

	Varones	Mujeres	Brecha
Horas semanales	40,2	32,2	8,0 h
Ingreso mensual	1.113.405	818.443	26,5 %
Ingreso por hora	7.037	6.599	6,2 %

5 · Supuestos

1. Independencia entre grupos y dentro de cada grupo. El crítico.
2. Normalidad de las medias muestrales, garantizada por el TCL con $n$ suficiente.
3. Homogeneidad de varianzas, solo para la versión clásica. Con Welch no hace falta.

Problema	Alternativa
$n$ chico y asimetría fuerte	Mann-Whitney
Varianzas muy distintas	Welch, que ya lo resuelve
Datos apareados	t pareada
Más de dos grupos	ANOVA

6 · Por qué no comparar los intervalos individuales

Un error visual muy extendido: mirar si los IC de cada grupo se solapan y concluir de ahí.

Que dos intervalos individuales se solapen no implica que la diferencia sea no significativa. Lo que hay que mirar es el intervalo de la diferencia, que es el que la prueba entrega, y si contiene o no al cero.

El caso real está medido en IC para la diferencia de medias: los intervalos del ingreso medio del NEA y de Cuyo se superponen, y la diferencia da $p = 0{,}009$.

7 · Errores frecuentes

• Usar la clásica sin verificar varianzas —o, peor, elegirla porque da un valor p más chico—.
• Aplicarla a datos apareados. Desperdicia el emparejamiento y pierde potencia.
• Usarla con más de dos grupos, de a pares. Infla el error tipo I: va ANOVA.
• Comparar los IC individuales en lugar del IC de la diferencia.
• Reportar solo el valor p sin $d$ ni intervalo.
• Concluir causalidad desde datos observacionales. La brecha por sexo no prueba discriminación sin controlar ocupación, horas y sector: medida por hora trabajada baja de 26,5 % a 6,2 %.

8 · En el software

# R — Welch es el comportamiento por defecto
t.test(ingreso ~ sexo)                      # Welch
t.test(ingreso ~ sexo, var.equal = TRUE)    # clásica

car::leveneTest(ingreso ~ sexo)             # homogeneidad
effectsize::cohens_d(ingreso ~ sexo)        # d de Cohen

# Python
from scipy import stats
stats.ttest_ind(v, m, equal_var=False)      # Welch
stats.levene(v, m, center='median')

SPSS:     Analizar › Comparar medias › Prueba T para muestras independientes
          La salida trae las dos filas: "se asumen varianzas iguales" y no.

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