Prueba de Kruskal-Wallis

1 · Qué hace

Compara tres o más grupos independientes sin suponer normalidad. Es la extensión de Mann-Whitney a más de dos grupos, y la alternativa no paramétrica al ANOVA de un factor.

$$H = \frac{12}{N(N+1)} \sum_{i=1}^{k} \frac{R_i^2}{n_i} - 3(N+1)$$

donde $R_i$ es la suma de rangos del grupo $i$. Bajo $H_0$, $H$ se distribuye aproximadamente chi-cuadrado con $k-1$ grados de libertad.

2 · El ejemplo

Ingreso según los seis niveles educativos, en la EPH:

	ANOVA	Kruskal-Wallis
Estadístico	$F = 223{,}23$	$H = 1.768{,}1$
gl	5 y 15.359	5
Valor p	$< 10^{-230}$	$< 10^{-300}$
Efecto	$\eta^2 = 0{,}068$	$\varepsilon^2 = 0{,}115$

Medianas por nivel: $500.000, $600.000, $600.000, $800.000, $800.000 y $1.100.000.

Las dos pruebas rechazan con enorme holgura.

3 · El tamaño del efecto

$$\varepsilon^2 = \frac{H - k + 1}{N - k}$$

Se interpreta como proporción de variabilidad de los rangos explicada por los grupos, con las referencias habituales de 0,01, 0,06 y 0,14.

También se usa $\eta^2_H = (H - k + 1)/(N - k)$, que es la misma fórmula con otro nombre.

4 · Después de rechazar

Igual que el ANOVA, $H$ dice que al menos dos grupos difieren, no cuáles. Las opciones para identificarlos:

Método	Característica
Dunn	el post hoc específico de Kruskal-Wallis; usa los rangos del análisis global
Mann-Whitney de a pares con Holm o Bonferroni	más simple; recalcula rangos en cada par
Conover-Iman	más potente que Dunn

5 · Sus supuestos

1. Observaciones independientes.
2. Variable al menos ordinal.
3. Formas parecidas entre grupos, si se quiere interpretar como comparación de medianas.

Sin el tercero, lo que se prueba es la hipótesis más general de que los grupos tienden a dar valores distintos.

6 · Cuándo conviene sobre el ANOVA

Situación	Elegir
$n$ chico y asimetría fuerte	Kruskal-Wallis
Variable ordinal	Kruskal-Wallis
Atípicos extremos	Kruskal-Wallis
Solo difieren las varianzas	ANOVA de Welch
$n$ grande	ANOVA, que da lo mismo y es más interpretable
Diseño con varios factores	ANOVA: Kruskal-Wallis solo admite uno

Cuánto se gana o se pierde, con tres grupos y un desplazamiento fijo:

Población	$n$ por grupo	ANOVA	Welch	Kruskal-Wallis
Normal	10	0,307	0,291	0,281
Normal	30	0,787	0,783	0,765
t de 3 gl	30	0,399	0,420	0,565
Lognormal	30	0,348	0,372	0,506
Exponencial	30	0,783	0,792	0,963

7 · Errores frecuentes

• Interpretarla como comparación de medianas sin verificar las formas.
• Saltar las comparaciones post hoc.
• Hacer Mann-Whitney de a pares sin corregir.
• Usarla con datos apareados. Ahí va Friedman.
• Elegirla por una prueba de normalidad con $n$ grande.
• Usarla contra la heterocedasticidad. No la arregla: 13,4 % de falsos positivos donde Welch da 5,0 %.
• Concluir que los supuestos no importaron porque coincidió con el ANOVA. Contestan preguntas distintas.
• Reportar solo el valor p, sin medianas ni $\varepsilon^2$.

8 · En el software

# R
kruskal.test(ingreso ~ factor(nivel_ed), data = d)

# Post hoc de Dunn, con ajuste
FSA::dunnTest(ingreso ~ factor(nivel_ed), data = d, method = "holm")

# Tamaño del efecto
rstatix::kruskal_effsize(d, ingreso ~ nivel_ed)

# Siempre: las medianas
tapply(d$ingreso, d$nivel_ed, median)

# Python
from scipy import stats
H, p = stats.kruskal(*grupos)

import scikit_posthocs as sp
sp.posthoc_dunn(d, val_col='ingreso', group_col='nivel_ed', p_adjust='holm')

SPSS:     Analizar › Pruebas no paramétricas › K muestras independientes

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