La recta de mínimos cuadrados

1 · Qué es

La recta que mejor resume la relación entre dos variables cuantitativas:

$$\hat{y} = b_0 + b_1 x$$

Mejor en un sentido preciso: la que minimiza la suma de los residuos al cuadrado.

$$\sum (y_i - \hat{y}_i)^2 \quad \text{mínima}$$

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2 · Las fórmulas

$$b_1 = \frac{s_{xy}}{s_x^{2}} = r \cdot \frac{s_y}{s_x} \qquad b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x}$$

La segunda expresión de $b_1$ muestra la conexión con la correlación: la pendiente es el coeficiente de correlación reescalado por los desvíos. De hecho, si las dos variables se estandarizan antes de ajustar, los desvíos valen 1 y la pendiente es exactamente $r$.

De $b_0$ se sigue una propiedad útil: la recta pasa siempre por el punto $(\bar{x}, \bar{y})$.

3 · El ejemplo

$$\widehat{\text{ingreso}} = 408.672 + 15.639 \times \text{horas}$$

Coeficiente	Valor	Interpretación
$b_1$ pendiente	15.639	cada hora semanal adicional se asocia a $15.639 más de ingreso mensual
$b_0$ ordenada	408.672	el ingreso predicho para cero horas: no tiene sentido

4 · Cómo se interpreta la pendiente

“Por cada unidad más de $x$, $y$ cambia en promedio $b_1$ unidades.”

Tres precisiones que hacen la diferencia entre una interpretación correcta y una falsa:

• “En promedio”: no todos los casos, sino la tendencia.
• “Se asocia con”, no “produce”. Ver correlación y causalidad.
• Dentro del rango observado. Fuera de él, la recta no tiene respaldo.

5 · Cuánto erra la recta

La pendiente dice hacia dónde va la tendencia; no dice cuán confiable es una predicción individual. Para eso está el error estándar de la estimación, que es el desvío típico de los residuos:

$$s_e = \sqrt{\frac{\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}{n-2}}$$

y que se relaciona con lo que ya se conoce: $s_e \approx s_y \sqrt{1 - R^2}$. Con el $R^2 = 0{,}062$ de este ejemplo, eso significa que el error típico de la recta es el 97 % del desvío original del ingreso: predecir con la recta es apenas mejor que predecir con el promedio.

Los residuos, además, tienen dos propiedades que sirven de control: suman cero y no están correlacionados con $x$. Si al graficarlos contra los valores predichos aparece cualquier patrón —una curva, un embudo—, el modelo lineal no está describiendo bien los datos. Ver diagnóstico de residuos.

Verificación	Qué indica si falla
El gráfico de dispersión	si la relación es curva, la recta no corresponde
Residuos contra predichos	un patrón indica no linealidad o varianza no constante
$R^2$ y $s_e$	cuánto explica y cuánto erra
Puntos influyentes	un solo caso puede mover la recta entera

6 · La asimetría que sorprende

La recta de $y$ sobre $x$ no es la misma que la de $x$ sobre $y$.

Mínimos cuadrados minimiza distancias verticales, así que cambiar los ejes cambia qué se minimiza. Las dos rectas solo coinciden si $r = \pm 1$.

A diferencia de la correlación, que es simétrica, la regresión obliga a decidir cuál variable explica a cuál. Esa decisión es del investigador y tiene que justificarse por el contenido.

7 · Extrapolar: el error más caro

Usar la recta fuera del rango de los datos no tiene respaldo empírico de ningún tipo.

En el ejemplo, predecir el ingreso de alguien que trabajara 100 horas semanales —$1.972.572 según la fórmula— es una cuenta sin sentido: no hay casos así, y no hay razón para suponer que la relación siga siendo lineal ahí.

Y aun dentro del rango, una predicción individual va acompañada de un intervalo de predicción, que es bastante más ancho que el intervalo de confianza de la recta: uno cubre dónde está la media de $y$ para ese $x$, el otro dónde puede caer un caso nuevo.

8 · Errores frecuentes

• Extrapolar.
• Interpretar la ordenada cuando $x = 0$ está fuera de rango o no tiene sentido.
• Ajustar una recta a una relación curva.
• Intercambiar los ejes y suponer que da lo mismo.
• Usar la recta para predecir casos individuales sin mirar el $s_e$.
• Leer la pendiente en términos causales.
• Ignorar los puntos influyentes.
• Reportar la recta sin el $R^2$ ni el gráfico.

9 · En el software

# R
modelo <- lm(ingreso ~ horas, data = d)
coef(modelo)                 # b0 y b1
summary(modelo)              # con R², errores estándar y valores p
sigma(modelo)                # el error estándar de la estimación
confint(modelo)              # IC de los coeficientes

plot(modelo)                 # los cuatro gráficos de diagnóstico
predict(modelo, newdata = data.frame(horas = 40))
predict(modelo, newdata = data.frame(horas = 40), interval = "prediction")

# Python
from scipy import stats
b1, b0, r, p, ee = stats.linregress(horas, ingreso)

import statsmodels.formula.api as smf
modelo = smf.ols("ingreso ~ horas", data=d).fit()
modelo.summary()

Excel:    =PENDIENTE(y; x)  ·  =INTERSECCION.EJE(y; x)
          =ERROR.TIPICO.XY(y; x)   el error estándar de la estimación
          O línea de tendencia en el gráfico, con la ecuación en pantalla
SPSS:     Analizar › Regresión › Lineales

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