La recta de mínimos cuadrados

1 · Qué es

La recta que mejor resume la relación entre dos variables cuantitativas:

$$\hat{y} = b_0 + b_1 x$$

Mejor en un sentido preciso: la que minimiza la suma de los residuos al cuadrado.

$$\sum (y_i - \hat{y}_i)^2 \quad \text{mínima}$$

2 · Las fórmulas

$$b_1 = \frac{s_{xy}}{s_x^{2}} = r \cdot \frac{s_y}{s_x} \qquad b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x}$$

La segunda expresión de $b_1$ muestra la conexión con la correlación: la pendiente es el coeficiente de correlación reescalado por los desvíos.

De $b_0$ se sigue una propiedad útil: la recta pasa siempre por el punto $(\bar{x}, \bar{y})$.

3 · El ejemplo

$$\widehat{\text{ingreso}} = 408.672 + 15.639 \times \text{horas}$$

Coeficiente	Valor	Interpretación
$b_1$ pendiente	15.639	cada hora semanal adicional se asocia a $15.639 más de ingreso mensual
$b_0$ ordenada	408.672	el ingreso predicho para cero horas: no tiene sentido

4 · Cómo se interpreta la pendiente

“Por cada unidad más de $x$, $y$ cambia en promedio $b_1$ unidades.”

Tres precisiones que hacen la diferencia entre una interpretación correcta y una falsa:

• “En promedio”: no todos los casos, sino la tendencia.
• “Se asocia con”, no “produce”. Ver correlación y causalidad.
• Dentro del rango observado. Fuera de él, la recta no tiene respaldo.

5 · La asimetría que sorprende

La recta de $y$ sobre $x$ no es la misma que la de $x$ sobre $y$.

Mínimos cuadrados minimiza distancias verticales, así que cambiar los ejes cambia qué se minimiza. Las dos rectas solo coinciden si $r = \pm 1$.

A diferencia de la correlación, que es simétrica, la regresión obliga a decidir cuál variable explica a cuál. Esa decisión es del investigador y tiene que justificarse por el contenido.

6 · Extrapolar: el error más caro

Usar la recta fuera del rango de los datos no tiene respaldo empírico de ningún tipo.

En el ejemplo, predecir el ingreso de alguien que trabajara 100 horas semanales —$1.972.617 según la fórmula— es una cuenta sin sentido: no hay casos así, y no hay razón para suponer que la relación siga siendo lineal ahí.

7 · Qué mirar antes de confiar en la recta

Verificación	Qué indica si falla
El gráfico de dispersión	si la relación es curva, la recta no corresponde
Gráfico de residuos contra predichos	un patrón indica no linealidad o varianza no constante
$R^2$	cuánto explica realmente
Puntos influyentes	un solo caso puede mover la recta entera

En el ejemplo, $R^2 = 0{,}062$: la recta es correcta pero explica el 6 % de la variabilidad. Sirve para describir una tendencia, no para predecir el ingreso de nadie.

8 · Errores frecuentes

• Extrapolar.
• Interpretar la ordenada cuando $x = 0$ está fuera de rango o no tiene sentido.
• Ajustar una recta a una relación curva.
• Intercambiar los ejes y suponer que da lo mismo.
• Leer la pendiente en términos causales.
• Ignorar los puntos influyentes.
• Reportar la recta sin el $R^2$ ni el gráfico.

9 · En el software

# R
modelo <- lm(ingreso ~ horas, data = d)
coef(modelo)                 # b0 y b1
summary(modelo)              # con R², errores estándar y valores p
confint(modelo)              # IC de los coeficientes

plot(modelo)                 # los cuatro gráficos de diagnóstico
predict(modelo, newdata = data.frame(horas = 40))

# Python
from scipy import stats
b1, b0, r, p, ee = stats.linregress(horas, ingreso)

import statsmodels.formula.api as smf
modelo = smf.ols("ingreso ~ horas", data=d).fit()
modelo.summary()

Excel:    =PENDIENTE(y; x)  ·  =INTERSECCION.EJE(y; x)
          O línea de tendencia en el gráfico, con la ecuación en pantalla
SPSS:     Analizar › Regresión › Lineales

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