ANOVA de dos factores

1 · Qué agrega

Con dos factores a la vez, el ANOVA responde tres preguntas de una sola vez:

Pregunta	Se llama
¿Importa el factor A?	efecto principal de A
¿Importa el factor B?	efecto principal de B
¿El efecto de A depende del nivel de B?	interacción

2 · La descomposición

$$SC_{\text{total}} = SC_A + SC_B + SC_{AB} + SC_{\text{error}}$$

con sus grados de libertad:

Fuente	gl
Factor A	$a - 1$
Factor B	$b - 1$
Interacción A×B	$(a-1)(b-1)$
Error	$N - ab$

Cada efecto tiene su propio $F$, calculado contra el mismo cuadrado medio del error.

3 · El ejemplo

Ingreso según nivel educativo agrupado y sexo:

	Varones	Mujeres	Brecha
Hasta secundario incompleto	$860.221 ($n = 2.868$)	$473.819 ($n = 1.563$)	$386.402
Secundario completo o más	$1.269.380 ($n = 5.438$)	$935.802 ($n = 5.496$)	$333.577

Los tres efectos se leen directo de la tabla:

• Efecto de la educación: las dos filas difieren mucho, en los dos sexos.
• Efecto del sexo: las dos columnas difieren mucho, en los dos niveles.
• Interacción: las dos brechas son parecidas —$386 mil contra $334 mil—, así que en escala absoluta la interacción es débil.

Corriendo el ANOVA, con sumas de cuadrados de tipo III:

Efecto	gl	$F$	$p$	$\eta^2_p$
Educación	1	272,79	$10^{-61}$	0,0175
Sexo	1	158,64	$10^{-36}$	0,0102
Educación × Sexo	1	2,16	0,141	0,00014

Con 15.365 casos, los dos efectos principales son aplastantes y la interacción no llega al 5 %. La lectura sería: la brecha por sexo es la misma en los dos niveles educativos.

Y ahora lo mismo en logaritmos

$$\text{Mismo archivo, mismo modelo, mismas 15.365 personas.}$$

Efecto	gl	$F$	$p$	$\eta^2_p$
Educación	1	964,61	$10^{-205}$	0,0591
Sexo	1	680,66	$10^{-147}$	0,0424
Educación × Sexo	1	117,53	$\mathbf{10^{-27}}$	0,0076

Las dos lecturas son correctas porque contestan preguntas distintas:

Escala	Qué contrasta la interacción	Las dos brechas	¿Difieren?
Pesos	¿difiere la brecha en pesos?	$386.402 y $333.577	No
Logaritmo	¿difiere la brecha proporcional?	44,9 % y 26,3 %	Sí, mucho

4 · El orden de lectura

Siempre se mira primero la interacción.

Interacción	Qué hacer
No significativa	interpretar los efectos principales, que valen para todos los niveles del otro factor
Significativa	no interpretar los principales por separado: analizar el efecto de cada factor dentro de cada nivel del otro (efectos simples)

5 · Diseños balanceados y desbalanceados

Balanceado = misma cantidad de casos en cada celda. Es la situación ideal: las sumas de cuadrados son independientes entre sí y la descomposición es limpia.

Desbalanceado —como el ejemplo, con celdas de 1.563 a 5.496 casos— es lo habitual en datos observacionales, y trae una complicación:

La recomendación habitual: tipo III cuando hay interacción y el diseño está desbalanceado, tipo II cuando no hay interacción. En R hay que pedirlo explícitamente con car::Anova(modelo, type = 3).

6 · Ventajas sobre dos ANOVA separados

Detecta la interacción, que es invisible por separado.

Más potencia: el error se estima con todos los datos y descontando los dos factores, así que el $CM$ del error es menor.

Más eficiente: un solo experimento responde tres preguntas.

7 · Errores frecuentes

• Interpretar los efectos principales con interacción significativa.
• No graficar la interacción. El gráfico de medias es más informativo que la tabla.
• Ignorar el desbalance y el tipo de suma de cuadrados.
• No declarar la escala. En este ejemplo la interacción da $p = 0{,}141$ en pesos y $p = 3 \times 10^{-27}$ en logaritmos.
• Elegir la escala después de ver si la interacción da significativa.
• Hacer dos ANOVA de un factor en lugar de uno de dos.
• Agregar factores sin hipótesis previa, multiplicando las pruebas.
• Celdas vacías. Si una combinación no tiene casos, la interacción no se puede estimar.

8 · En el software

# R
modelo <- aov(ingreso ~ educacion * sexo, data = d)   # * incluye interacción
summary(modelo)

# educacion + sexo    →  solo efectos principales
# educacion : sexo    →  solo la interacción

# Sumas de cuadrados tipo III, con desbalance
car::Anova(lm(ingreso ~ educacion * sexo, data = d), type = 3)

interaction.plot(d$educacion, d$sexo, d$ingreso)

# Python
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf
modelo = smf.ols("ingreso ~ C(educacion) * C(sexo)", data=d).fit()
sm.stats.anova_lm(modelo, typ=3)

SPSS:     Analizar › Modelo lineal general › Univariante
          (usa tipo III por defecto)

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