Tabla
Tabla de Poisson
Para cualquier λ, con decimales incluidos. Con la función de probabilidad dibujada, que muestra cómo cambia de forma.
Cantidad media de eventos en el intervalo que estés considerando.
En verde, las barras que entran en P(X ≤ 5).
Las cuatro que se confunden
«Al menos 5» incluye a 5 y «más de 5» no. En una variable discreta esa diferencia vale exactamente P(X = 5) = 0,156293, que puede ser mucho. En una variable continua no existe, porque ahí P(X = k) es cero: por eso el error aparece recién al pasar a las discretas.
La tabla completa
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X > k) |
|---|---|---|---|
| 0,0183 | 0,0183 | 0,9817 | |
| 0,0733 | 0,0916 | 0,9084 | |
| 0,1465 | 0,2381 | 0,7619 | |
| 0,1954 | 0,4335 | 0,5665 | |
| 0,1954 | 0,6288 | 0,3712 | |
| 0,1563 | 0,7851 | 0,2149 | |
| 0,1042 | 0,8893 | 0,1107 | |
| 0,0595 | 0,9489 | 0,0511 | |
| 0,0298 | 0,9786 | 0,0214 | |
| 0,0132 | 0,9919 | 0,0081 | |
| 0,0053 | 0,9972 | 0,0028 | |
| 0,0019 | 0,9991 | 0,0009 | |
| 0,0006 | 0,9997 | 0,0003 |
Media: 4,000 · Varianza: 4,000 · Desvío: 2,000 — en la Poisson la media y la varianza son iguales, y esa igualdad es una propiedad que se puede verificar en los datos: si la varianza observada es mucho mayor, el modelo Poisson no sirve.
Cómo están calculados estos valores
- No son una tabla guardada. Cada número se calcula en el momento. La acumulada es la función gamma incompleta regularizada: P(X ≤ k) = Q(k+1, λ). No se suman términos, así que la cola no pierde precisión. Por eso podés pedir cualquier valor, no solo los de la grilla.
- Precisión. El error relativo frente a SciPy es menor a 1e-11 en todo el rango, incluidas las colas, y hay un verificador que lo comprueba sobre miles de casos. Las tablas impresas traen cuatro decimales y se cortan mucho antes.
- Nada sale de tu navegador. El cálculo entero pasa en esta página.
Para qué sirve
Modela conteos de eventos raros en un intervalo fijo de tiempo, espacio o exposición: llamadas que entran a una central por hora, accidentes en un tramo de ruta por mes, defectos por metro de tela, casos de una enfermedad poco frecuente por año.
Lo que la define es que se cuenta cuántas veces ocurre algo, sin un máximo fijo. Esa es la diferencia con la binomial: allá hay n ensayos y el resultado no puede superar n; acá no hay tope.
La media es igual a la varianza
Es la propiedad más característica de la Poisson, y es la que permite verificar si el modelo sirve: se calcula la media y la varianza de los datos observados y se comparan.
Si la varianza es bastante mayor que la media —lo que se llama sobredispersión— la Poisson no alcanza, y ahí van otros modelos como la binomial negativa. Es muy común en datos reales: los eventos tienden a agruparse, y esa agrupación produce más variabilidad de la que la Poisson admite.
Es una de las pocas verificaciones de supuestos que se pueden hacer con dos números. Vale la pena hacerla siempre antes de ajustar un modelo de conteos.
Cuándo la binomial se vuelve Poisson
Cuando n es grande y p es chico, la binomial se aproxima a una Poisson con λ = np. Se puede comprobar acá mismo: poné λ = 2 en esta tabla y comparala con una binomial de n = 1000 y p = 0,002 en la tabla binomial.
Los valores coinciden en las primeras cifras, y cuánto coinciden depende de k: en k = 1 el acuerdo llega al sexto decimal (0,2706704 contra 0,2706706) y en k = 0 solo al tercero (0,13506 contra 0,13534). La aproximación mejora a medida que p se achica manteniendo λ, no a medida que crece n a secas.
Esa relación explica por qué la Poisson aparece en tantos contextos: casi cualquier fenómeno que sea "muchas oportunidades, cada una con muy poca probabilidad" termina comportándose así.
El supuesto que se rompe
La Poisson supone que los eventos ocurren de manera independiente y a tasa constante. Dos formas habituales de romperlo:
Contagio. Si un evento hace más probable el siguiente —una enfermedad transmisible, un incendio que se propaga— los conteos se agrupan y aparece sobredispersión.
Tasa variable. Si la tasa cambia con el tiempo o entre unidades —más accidentes los fines de semana, más consultas en invierno— el conteo agregado no es Poisson aunque cada período lo sea.