Media geométrica y media armónica

1 · Definición

La media geométrica es la raíz $n$-ésima del producto de los valores:

$$G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$

La media armónica es el inverso del promedio de los inversos:

$$H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_i}}$$

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2 · Cuál corresponde en cada caso

Si los valores son…	Va la media…
Cantidades que se suman	Aritmética
Factores que se multiplican (tasas de crecimiento, índices)	Geométrica
Razones con el mismo numerador (velocidades, precios por unidad)	Armónica

La pregunta que resuelve la duda: ¿qué operación mantiene constante el resultado? Si al reemplazar todos los valores por la media el total se conserva, es aritmética. Si lo que se conserva es el producto, es geométrica. Si lo que se conserva es la suma de los inversos —en un viaje, el tiempo total—, es armónica.

3 · La media geométrica

Se usa cuando los valores se componen multiplicativamente, que es el caso de todo lo que crece a una tasa: precios, población, producción.

El procedimiento con tasas de crecimiento tiene una vuelta: no se promedian las tasas sino los factores $(1 + r_i)$, y al final se resta 1.

$$1 + \bar{r} = \sqrt[n]{(1+r_1)(1+r_2)\cdots(1+r_n)}$$

Por qué importa. Si un precio sube 50 % un año y baja 50 % al siguiente, la media aritmética de las tasas da 0 % y sugiere que quedó igual. No quedó igual: $1{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}75$, o sea que cayó un 25 %. La media geométrica lo refleja: $\sqrt{1{,}5 \times 0{,}5} = 0{,}866$, es decir $-13{,}4\,\%$ por período, que aplicado dos veces da exactamente el 0,75 final.

El atajo de los extremos. Como el producto de los factores es el cociente entre el valor final y el inicial, la tasa media se puede calcular sin conocer las tasas intermedias:

$$\bar{r} = \left( \frac{V_{\text{final}}}{V_{\text{inicial}}} \right)^{1/n} - 1$$

donde $n$ es la cantidad de períodos, no de observaciones. Da exactamente lo mismo que la geométrica de los factores, y es la forma en que casi siempre se calcula. Ver tasa de crecimiento.

Dos propiedades:

• $G \le \bar{x}$ siempre, con igualdad solo si todos los valores son iguales. La distancia entre las dos medias crece con la dispersión.
• Requiere valores estrictamente positivos. Un solo cero anula el producto, y con negativos deja de tener sentido: el logaritmo no está definido y, según la cantidad de valores, la raíz puede no existir.

Igual que la aritmética, admite pesos: la media geométrica ponderada eleva cada valor a su peso en vez de multiplicarlo por él.

En los índices de precios, la geométrica aparece en el nivel más desagregado: los precios relativos de los distintos negocios y variedades de un mismo producto se combinan con una media geométrica sin ponderar —el índice de Jevons—, porque ahí no hay ponderaciones disponibles y la geométrica refleja mejor que la aritmética que los consumidores sustituyen lo que más aumenta. Las ponderaciones entran recién en los niveles superiores, con media aritmética.

4 · La media armónica

Se usa para promediar razones cuando lo que se mantiene constante es el numerador. El caso escolar es la velocidad, y funciona bien como ilustración:

Un recorrido de ida y vuelta de 100 km por tramo, a 100 km/h la ida y 50 km/h la vuelta. La media aritmética diría 75 km/h. Pero el tiempo real es 1 hora más 2 horas = 3 horas para 200 km, o sea 66,7 km/h, que es exactamente la media armónica:

$$H = \frac{2}{\frac{1}{100} + \frac{1}{50}} = 66{,}7$$

Aparece en más lugares de los que parece, siempre con la misma lógica de promediar cocientes:

• Precios por unidad. Si con el mismo monto se compran distintas cantidades a distintos precios, el precio medio pagado es la armónica de los precios.
• El F1 de un clasificador, que es la media armónica entre precisión y exhaustividad. Con 0,8 y 0,4 la aritmética daría 0,60 y el F1 da 0,53: la armónica castiga el desequilibrio, que es justamente lo que se busca.
• El tamaño de muestra en comparaciones desbalanceadas. Cuando dos grupos tienen $n$ distintos, varias fórmulas usan la media armónica de los dos tamaños, que queda más cerca del grupo chico — que es el que limita la precisión.

Como la geométrica, requiere valores estrictamente positivos: un cero no tiene inverso. Y es muy sensible a los valores chicos, que tienen inversos grandes: es el espejo de lo que le pasa a la aritmética con los valores grandes.

Con valores positivos se cumple siempre que $H \le G \le \bar{x}$.

5 · Un ejemplo con datos reales

Las tres medias del ingreso de la ocupación principal (EPH, 1T 2026, ponderado con PONDIIO):

Media	Valor
Armónica	$448.586
Geométrica	$779.782
Mediana	$900.000
Aritmética	$1.104.227

La tabla sirve para ver el orden de la escalera, no para elegir: el ingreso no es una razón con numerador fijo, y su media armónica no responde ninguna pregunta. Para el ingreso, las medidas con sentido son la aritmética, si interesa el total, y la mediana, si interesa el caso típico.

Se ve la desigualdad $H < G < \bar{x}$, y se ve algo más: la media geométrica queda mucho más cerca de la mediana que la aritmética.

También se ve cuánto depende la armónica de los valores chicos. En la base hay ingresos de $5.000 y $8.000, y el 0,8 % de los ocupados declara menos de $50.000. Sacando solo ese 0,8 %, la armónica pasa de $448.586 a $526.203: un 17 % más.

Eso no es casualidad. En distribuciones asimétricas a la derecha —como casi todas las de ingresos— la media geométrica es menos sensible a la cola larga, porque promedia en escala logarítmica. Por eso en economía se la usa para describir ingresos y precios, aunque para ese fin la mediana sigue siendo más fácil de explicar.

6 · La familia completa

Las tres medias de esta entrada, más una cuarta que aparece en el módulo de dispersión, forman una escalera que siempre va en el mismo orden:

$$H \le G \le \bar{x} \le Q$$

siempre que los valores sean positivos, donde $Q$ es la media cuadrática —la raíz del promedio de los cuadrados—, que es la que está detrás del desvío estándar y del error cuadrático medio. Con los valores 1, 2, 4 y 8, por ejemplo, dan 2,13 · 2,83 · 3,75 · 4,61.

La regla de elección no cambia por conocer la escalera. Cada media responde a una operación distinta —sumar, multiplicar, invertir, elevar al cuadrado— y la correcta es la que corresponde a la magnitud, no la que da el número más cómodo.

7 · Errores frecuentes

• Promediar tasas de crecimiento con la media aritmética. Nunca subestima, y sobreestima en cuanto las tasas varían. Si un índice creció 100 % y después cayó 50 %, el promedio aritmético dice 25 % de crecimiento por período cuando en realidad quedó igual.
• Promediar las tasas en vez de los factores. Hay que trabajar con $(1+r)$, no con $r$.
• Usar la geométrica con ceros o negativos. No está definida. Si hay ceros, la salida habitual es sumar una constante antes del logaritmo, como $\ln(x + 1)$, pero el resultado depende de la constante elegida y hay que declararla. Ver transformación de variables.
• Calcularla multiplicando todos los valores. Con unas pocas decenas de ingresos el producto ya desborda y devuelve infinito; con valores menores que 1, cero. Se calcula con logaritmos.
• Usar la armónica cuando lo constante es el denominador. Si los tramos fueran de igual duración y no de igual distancia, la media correcta sería la aritmética. Hay que identificar qué se mantiene fijo.
• Creer que la geométrica es “la media de una distribución asimétrica”. No es una alternativa universal a la aritmética: es la media correcta para magnitudes multiplicativas. Que además se porte bien con colas largas es un efecto lateral.
• Informar una media sin decir cuál. Con ingresos, la aritmética y la geométrica difieren en cientos de miles de pesos.

8 · En el software

# R — no hay función incorporada; se calcula con logaritmos
geometrica <- function(x) exp(mean(log(x)))
armonica   <- function(x) length(x) / sum(1 / x)

geometrica(datos$ingreso)

# Tasa media de crecimiento a partir de variaciones r
exp(mean(log(1 + r))) - 1

# Ponderadas
exp(weighted.mean(log(datos$ingreso), datos$PONDIIO))   # geométrica
sum(datos$PONDIIO) / sum(datos$PONDIIO / datos$ingreso)  # armónica

# Python
from scipy.stats import gmean, hmean
gmean(datos["ingreso"])
hmean(datos["ingreso"])

# Ponderadas (scipy 1.9 o posterior)
gmean(datos["ingreso"], weights=datos["PONDIIO"])
hmean(datos["ingreso"], weights=datos["PONDIIO"])

# Tasa media de crecimiento a partir de variaciones r
gmean(1 + r) - 1

Excel:    =MEDIA.GEOM(rango)
          =MEDIA.ARMO(rango)
          =MEDIA.GEOM(1+rango)-1      tasa media a partir de variaciones
          =EXP(SUMAPRODUCTO(pesos;LN(valores))/SUMA(pesos))
                                      geométrica ponderada
          Las dos funciones dan #¡NUM! si hay un cero o un negativo

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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