Transformar la variable: log, raíz y otras

1 · Para qué

Aplicar una función a la variable para que cumpla mejor los supuestos de un método paramétrico. Los tres objetivos habituales:

• Reducir la asimetría.
• Estabilizar la varianza entre grupos.
• Linealizar una relación curva.

“Conserva la potencia” se queda corto

Dos grupos lognormales que difieren en un factor multiplicativo —el caso que el logaritmo está hecho para resolver—:

$n$ c/u	Razón	t sobre $\log$	t sobre los datos crudos	Mann-Whitney
15	1,0 (nula)	0,052	0,034	0,046
30	1,0 (nula)	0,051	0,036	0,047
30	1,6	0,444	0,309	0,416
60	1,3	0,299	0,206	0,280
60	1,6	0,721	0,525	0,697

2 · El catálogo

Transformación	Cuándo	Efecto
$\log(x)$	asimetría derecha fuerte; efectos multiplicativos	la más usada
$\sqrt{x}$	asimetría derecha moderada; conteos	más suave que el log
$1/x$	asimetría derecha extrema; tiempos	invierte el orden
$x^2$ o $x^3$	asimetría izquierda	poco frecuente
$\arcsin\sqrt{p}$	proporciones	en desuso: hoy va regresión logística
Box-Cox	elige el exponente óptimo	requiere $x > 0$

El catálogo, corrido

Asimetría que queda después de aplicar cada una:

Población	Original	$\log$	$\sqrt{x}$	$1/x$	Box-Cox
Lognormal	6,00	0,01	1,78	5,48	0,00
Lognormal extrema	73,85	0,00	5,46	38,41	0,00
Exponencial	1,98	−1,12	0,63	354	−0,04
Poisson (conteos)	0,57	−1,10	−0,17	3,15	−0,03
Chi-cuadrado	1,44	−0,77	0,42	44,2	−0,01
Asimetría izquierda	−1,94	−3,79	−2,46	166	−0,37

3 · El logaritmo, que es la que importa

Sobre el ingreso de los ocupados de la EPH:

	Original	Con $\log$
Asimetría	10,21	−0,64
Curtosis	267,28	1,36

Por qué funciona tan bien con ingresos, precios y tamaños: esas variables se generan por procesos multiplicativos —crecimientos porcentuales acumulados—, y el logaritmo convierte productos en sumas. Una variable log-normal es exactamente el resultado de multiplicar muchos factores independientes, igual que la normal es el de sumarlos.

4 · Lo que cambia en la interpretación

Es el costo, y hay que declararlo:

$$\exp\left(\overline{\log x}\right) = \text{media geométrica}$$

Medida	Valor
Media aritmética	$990.201
Mediana	$800.000
Media geométrica	$719.241

En regresión hay una ventaja adicional: con $\log(y)$, un coeficiente de 0,05 se lee como “5 % de aumento” por cada unidad de $x$. Los efectos pasan a ser porcentuales, que suele ser la forma natural de pensarlos.

5 · El problema de los ceros

$\log(0)$ no existe. Las salidas habituales:

Solución	Comentario
$\log(x + 1)$	la más común; distorsiona poco si los valores son grandes
$\log(x + c)$ con $c$ chico	la elección de $c$ afecta el resultado
Excluir los ceros	cambia la población estudiada: hay que declararlo
Raíz cuadrada	admite el cero sin trucos
Modelo de dos partes	si los ceros significan algo distinto

6 · Cuándo no transformar

• Cuando la interpretación en la escala original es esencial y no puede reformularse.
• Cuando el $n$ es grande y el TCL ya resuelve el problema.
• Cuando la transformación arregla un supuesto y rompe otro: puede normalizar los residuos y a la vez estropear la homocedasticidad.

• Cuando se la elige después de ver cuál da significativo.

7 · Errores frecuentes

• Reportar la media de la variable transformada como si fuera la media original.
• Destransformar la media. $\exp(\bar{y}_{\log})$ da la media geométrica, no la aritmética.
• Aplicar log a valores negativos o cero sin resolverlo.
• Elegir la transformación por el valor p.
• Transformar sin necesidad. No es neutro: sobre tres grupos normales y homocedásticos, el logaritmo hace que Levene rechace el 100 % de las veces.
• Usar el logaritmo por defecto. Con conteos o exponenciales se pasa de largo: deja la asimetría en −1,10 en vez de acercarla a cero.
• Usar $1/x$ para reducir asimetría. Suele empeorarla mucho.
• Olvidar que los intervalos de confianza destransformados son asimétricos, y eso está bien: así son.

8 · En el software

# R
d$log_ingreso <- log(d$ingreso)
e1071::skewness(d$ingreso)        # 10.21
e1071::skewness(d$log_ingreso)    # -0.64

# Box-Cox: qué exponente conviene
library(MASS)
boxcox(lm(ingreso ~ 1, data = d))   # lambda ≈ 0 sugiere logaritmo

# Destransformar una media de logaritmos
exp(mean(log(d$ingreso)))           # media geométrica

# Python
import numpy as np
from scipy import stats
np.log(ingreso)
stats.skew(np.log(ingreso))
stats.boxcox(ingreso)               # devuelve los datos y el lambda óptimo

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