Correlación de Spearman

1 · Qué es

La correlación de Spearman es la correlación de Pearson calculada sobre los puestos —el orden— en lugar de los valores originales.

$$\rho = r_{\text{puestos}}$$

3:22

Cuando no hay empates, existe una fórmula abreviada:

$$\rho = 1 - \frac{6\sum d_i^{2}}{n(n^{2}-1)}$$

donde $d_i$ es la diferencia de puestos de cada caso. Con empates —que es lo habitual— hay que usar la definición general, y los puestos repetidos se reemplazan por el promedio de las posiciones que ocuparían.

2 · Qué gana con eso

Detecta cualquier relación monótona, no solo la lineal. Si $y$ crece siempre que $x$ crece, aunque sea con una curva, Spearman da 1 y Pearson no.

Es robusta a los atípicos. Un ingreso de veinte millones pasa a ser “el puesto más alto”, igual que uno de tres millones: su peso desmesurado desaparece.

Funciona con variables ordinales. Escalas Likert, niveles educativos, grados de severidad: todo lo que tenga orden pero no distancias interpretables.

No cambia si se transforma una variable de manera monótona. Tomar logaritmos, raíces o elevar al cuadrado valores positivos no altera el orden, así que no altera $\rho$. Pearson, en cambio, da un número distinto con cada transformación.

No exige normalidad.

3 · El mecanismo, con seis casos

Antigüedad en el puesto y salario mensual de seis personas, donde la quinta gana mucho más que el resto:

Antigüedad	Salario	Puesto de $x$	Puesto de $y$	$d$	$d^2$
2	180	1	1	0	0
4	260	2	3	−1	1
5	220	3	2	1	1
8	300	4	4	0	0
12	1.500	5	6	−1	1
30	340	6	5	1	1
					4

$$\rho = 1 - \frac{6 \times 4}{6(36-1)} = 0{,}886$$

Y sobre los mismos seis pares, Pearson da 0,176.

Si se toman logaritmos del salario, Pearson sube a 0,308 —la transformación ayuda pero no alcanza— y Spearman sigue siendo 0,886, exactamente el mismo número. Esa insensibilidad es la propiedad que define al coeficiente.

4 · El ejemplo de la EPH

Medida	Valor
Pearson sobre los valores	0,249
Spearman	0,411
Pearson sobre $\log(\text{ingreso})$	0,431

La diferencia entre 0,249 y 0,411 es grande, y es informativa: dice que la relación entre horas e ingreso es monótona pero no lineal, y que la asimetría extrema del ingreso estaba castigando a Pearson.

5 · Qué pierde

Descarta la información de las distancias. Entre el primer y el segundo puesto puede haber un peso o un millón: Spearman no lo distingue.

Es menos potente si la relación realmente es lineal y los datos son normales. En ese escenario, Pearson aprovecha mejor la información.

No se interpreta como $r^2$. El cuadrado de $\rho$ no es la proporción de variabilidad explicada.

No sirve para predecir. Sobre los puestos no se construye una recta útil: si lo que hace falta es una ecuación, hay que volver a los valores —transformados si es necesario— y usar regresión.

6 · Cuándo usar cada una

Situación	Medida
Cuantitativas, relación lineal, sin atípicos	Pearson
Al menos una variable ordinal	Spearman
Relación monótona curva	Spearman
Atípicos que no se pueden justificar sacar	Spearman
Distribuciones muy asimétricas	Spearman, o Pearson sobre logaritmos
Muestra chica con empates	Kendall

7 · Errores frecuentes

• Interpretar $\rho^2$ como proporción de variabilidad explicada.
• Usar la fórmula abreviada con empates. Da un valor incorrecto.
• Elegir la medida según cuál da más alto.
• Usar Spearman con variables nominales. Sin orden no hay puestos: ahí va V de Cramér.
• Esperar que cambie al transformar la variable. No cambia: esa es la idea.
• Creer que resuelve la causalidad. No cambia nada en ese plano.
• Olvidar que solo detecta relaciones monótonas. Una U sigue dando cerca de cero.

8 · En el software

# R
cor(x, y, method = "spearman")
cor.test(x, y, method = "spearman")     # con valor p

# Equivalencia: es Pearson sobre los rangos
cor(rank(x), rank(y))                   # idéntico

# Python
from scipy import stats
rho, p = stats.spearmanr(x, y)

SPSS:     Analizar › Correlaciones › Bivariadas › marcar Spearman

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