Coeficiente de determinación R²

1 · Definición

El coeficiente de determinación es la proporción de la variabilidad de $y$ que el modelo explica:

$$R^{2} = 1 - \frac{SC_{\text{residual}}}{SC_{\text{total}}}$$

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2 · La descomposición

Toda la variabilidad de $y$ se parte en dos:

$$SC_{\text{total}} = SC_{\text{explicada}} + SC_{\text{residual}}$$

Componente	Cómo se calcula	Qué es
Total	$\sum (y_i - \bar{y})^2$	cuánto varían los datos alrededor de su media
Explicada	$\sum (\hat{y}_i - \bar{y})^2$	cuánto de eso reproduce la recta
Residual	$\sum (y_i - \hat{y}_i)^2$	lo que queda sin explicar

El $R^2$ es la explicada dividida por la total. Es la misma descomposición que usa el ANOVA, lo que no es casualidad: son el mismo modelo visto de dos maneras.

3 · Cómo se interpreta

Entre horas trabajadas e ingreso, $R^2 = 0{,}062$.

Las horas trabajadas explican el 6,2 % de la variabilidad del ingreso de la ocupación principal. El 93,8 % restante depende de otros factores: el tipo de ocupación, la calificación, el sector, la antigüedad, la región.

4 · Qué valor es “bueno”

Depende por completo del campo, igual que con la correlación:

Campo	$R^2$ típico
Física o ingeniería con datos de laboratorio	0,95 o más
Modelos económicos agregados	0,7 – 0,9
Datos de encuesta a nivel individual	0,1 – 0,3
Predicción de comportamiento humano	0,05 – 0,2

5 · Lo que un R² alto NO garantiza

No garantiza que el modelo sea correcto. Una relación curva ajustada con una recta puede dar un $R^2$ alto y estar mal especificada. Hay que mirar los residuos.

No garantiza causalidad.

No garantiza capacidad predictiva fuera de la muestra. Un modelo con muchas variables puede tener $R^2$ alto por sobreajuste y fallar con datos nuevos.

No dice si las predicciones son útiles. Para eso hay que mirar el error estándar residual, que está en las unidades de $y$ y es mucho más interpretable.

6 · Sube siempre al agregar variables

En regresión múltiple, agregar cualquier variable no puede bajar el $R^2$, aunque sea ruido puro. Con suficientes variables se llega a 1 sin haber aprendido nada.

Por eso existen el $R^2$ ajustado, que penaliza la cantidad de predictores, y los criterios de información como AIC y BIC. Para comparar modelos con distinta cantidad de variables, el $R^2$ crudo no sirve.

7 · Tres situaciones donde el número confunde

Cuando se compara entre modelos con distinta variable dependiente. Un modelo para el ingreso y otro para el logaritmo del ingreso tienen $R^2$ que no se pueden comparar: la variabilidad total que están repartiendo es distinta. Es un error frecuente al elegir entre especificaciones.

Cuando se fuerza la recta por el origen. Si se ajusta sin ordenada, el software cambia la fórmula —compara contra cero en vez de contra la media— y devuelve un $R^2$ que suele ser altísimo y no significa lo mismo. Dos modelos, uno con intercepto y otro sin él, no se comparan por $R^2$.

Cuando se evalúa fuera de la muestra. Ahí el $R^2$ puede ser negativo, y no es un error de cálculo: significa que el modelo predice peor que haber usado el promedio. Es una señal inequívoca de sobreajuste, y una de las razones por las que la validación con datos nuevos dice más que cualquier ajuste dentro de la muestra.

8 · Errores frecuentes

• Interpretarlo como calidad del modelo en abstracto.
• Compararlo entre modelos con distinta variable dependiente. Solo es comparable con el mismo $y$, en la misma escala.
• Comparar un modelo con intercepto con otro sin intercepto.
• Usar el $R^2$ crudo para comparar modelos con distinta cantidad de predictores.
• Concluir causalidad desde un $R^2$ alto.
• Descartar un modelo por un $R^2$ bajo, cuando la pregunta es si existe la relación y de qué magnitud.
• Reportar solo el $R^2$ sin la pendiente ni su intervalo, que es lo que responde la pregunta sustantiva.
• Olvidar mirar los residuos.

9 · En el software

# R
modelo <- lm(ingreso ~ horas, data = d)
summary(modelo)$r.squared          # 0.0621
summary(modelo)$adj.r.squared

# La descomposición a mano
sct <- sum((d$ingreso - mean(d$ingreso))^2)
scr <- sum(residuals(modelo)^2)
1 - scr / sct                      # el mismo 0.0621

# Python
from scipy import stats
r = stats.linregress(horas, ingreso).rvalue
r**2

import statsmodels.formula.api as smf
smf.ols("ingreso ~ horas", data=d).fit().rsquared

Excel:    =COEFICIENTE.R2(y; x)
          o mostrar R² en la línea de tendencia del gráfico

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