Multicolinealidad

1 · Qué es

Que las predictoras estén muy correlacionadas entre sí, de modo que aportan información redundante.

En el extremo —colinealidad perfecta— una variable es combinación lineal exacta de otras y el modelo no tiene solución única. Es lo que pasa al incluir todas las dummy con constante.

2 · Qué rompe y qué no

Consecuencia	¿Ocurre?
Los coeficientes se sesgan	No
Los errores estándar se inflan	Sí, es el problema
Los coeficientes se vuelven inestables	Sí: cambian mucho al agregar o quitar casos
Aparecen signos “al revés”	Sí, y confunde mucho
El $R^2$ y las predicciones empeoran	No: el modelo predice igual de bien

Las dos filas del medio, medidas

Con 300 casos y tres predictoras que valen 1,0 cada una, comparando un escenario sin colinealidad contra uno con VIF ≈ 25:

	$b_1$ medio	Desvío de $b_1$	Rango del 5 al 95 %
Sin colinealidad	1,000	0,058	0,90 a 1,10
Colinealidad alta	0,995	0,215	0,64 a 1,35

3 · Cómo se mide: el VIF

$$VIF_j = \frac{1}{1 - R_j^2}$$

donde $R_j^2$ es el $R^2$ de regresar la predictora $j$ contra todas las demás.

VIF	$R_j^2$	Interpretación
1	0	sin colinealidad
2	0,50	leve
5	0,80	moderada; umbral habitual
10	0,90	alta; umbral clásico

El VIF dice por cuánto se multiplica la varianza del coeficiente respecto de un modelo sin colinealidad. Un VIF de 9 significa que el error estándar es 3 veces mayor de lo que sería.

Por qué no alcanza con mirar las correlaciones

Tres variables donde $x_3$ es casi la suma de las otras dos. La matriz de correlaciones:

	$x_1$	$x_2$	$x_3$
$x_1$	1,000	−0,001	0,694
$x_2$	−0,001	1,000	0,693
$x_3$	0,694	0,693	1,000

Variable	VIF
$x_1$	13,5
$x_2$	13,5
$x_3$	26,0

4 · El ejemplo

Variable	VIF
Horas	1,07
Edad	1,07
Mujer	1,09
Secundario	2,47
Superior	2,45

Todos por debajo de 2,5: no hay problema. Los dos más altos son las dummy educativas, y eso es esperable —son mutuamente excluyentes, así que están negativamente correlacionadas por construcción—.

5 · Cuándo no hay que hacer nada

Es la parte que suele omitirse:

Si solo interesa predecir. La multicolinealidad no afecta las predicciones ni el $R^2$.

Si las variables colineales no son las de interés. Si dos controles se solapan pero el coeficiente que importa tiene VIF bajo, no hay problema.

Si los coeficientes siguen siendo significativos. Con errores estándar inflados y aun así significativos, la evidencia es más fuerte, no más débil.

Si es estructural: dummy de un mismo factor, términos de interacción con sus componentes, polinomios.

6 · Qué hacer cuando sí importa

Solución	Comentario
Sacar una de las variables	la más simple; hay que justificar cuál
Combinarlas	un índice, un promedio
Centrar	solo sirve para interacciones y polinomios
Componentes principales	crea predictoras ortogonales; pierde interpretación
Regresión penalizada (ridge)	acepta algo de sesgo a cambio de estabilidad
Conseguir más datos	aumenta la precisión sin tocar el modelo

7 · Errores frecuentes

• Creer que sesga los coeficientes.
• Sacar variables automáticamente por VIF alto.
• Alarmarse por el VIF de dummy de un mismo factor.
• Mirar solo las correlaciones de a pares. Puede haber colinealidad entre tres variables sin que ningún par esté muy correlacionado: para eso está el VIF. Ver el ejemplo de la sección 3.
• Ignorarla cuando los coeficientes tienen signos inesperados.
• Centrar para “arreglar” colinealidad entre variables distintas: solo funciona con productos y potencias.

8 · En el software

# R
car::vif(modelo)
car::vif(modelo)          # con factores devuelve el VIF generalizado (GVIF)

# A mano, para entenderlo
r2 <- summary(lm(horas ~ edad + mujer + secundario + superior, data = d))$r.squared
1 / (1 - r2)              # el VIF de horas

cor(d[, c("horas", "edad", "mujer")])

# Python
from statsmodels.stats.outliers_influence import variance_inflation_factor
[variance_inflation_factor(X.values, i) for i in range(X.shape[1])]

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