Probabilidad

Notas · 1

Pensada para 90 a 120 minutos. Hasta acá se describieron datos que ya estaban; la probabilidad mira para adelante: qué puede pasar y con qué chances. Es la base de toda la inferencia de la segunda mitad del curso.

Notas · 2

Los datos que se le dan al médico: el 1 % de las mujeres de esa edad tiene cáncer de mama; la mamografía da positiva en el 80 % de las que lo tienen y en el 9,6 % de las que no. Que voten sin hacer cuentas. La respuesta es la d), 7,8 %, y se resuelve en la parte 5.

En los estudios que hicieron esta pregunta a médicos, la mayoría contestó muy por encima. No es falta de inteligencia: es que las probabilidades condicionales se confunden con facilidad. Para eso es la clase.

Notas · 3

El conteo (combinaciones, variaciones) queda para el práctico: es una herramienta para aplicar la definición clásica cuando los casos son muchos.

Notas · 5

El contraste es con un experimento determinístico: soltar una piedra y medir cuánto tarda en caer da siempre lo mismo, salvo el error de medición. Tirar un dado, no.

Elegir al azar una persona de la EPH también es un experimento aleatorio: se sabe quiénes pueden salir, no quién va a salir.

Notas · 6

Con dos monedas, CX y XC son resultados distintos: la primera moneda es cara y la segunda ceca, o al revés. Si se los junta en «una cara y una ceca», el espacio tiene tres resultados que no son igualmente probables.

Notas · 7

Los pares que suman 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) y (6, 1). Conviene escribirlos en el pizarrón: se usan en la diapositiva que sigue.

Un diagrama de Venn dibujado a mano ayuda con la unión y la intersección. El «o» de la probabilidad es inclusivo: incluye el caso en que ocurren los dos.

Notas · 9

Solo vale si todos los resultados del espacio muestral son igualmente probables, como los 36 pares de dos dados equilibrados. Y no hace falta tirar nada: la probabilidad sale de contar.

Notas · 10

No. Las once sumas no son igualmente probables: el 7 sale de seis pares y el 2, de uno solo. La definición clásica cuenta resultados igualmente probables, y las sumas no lo son: los pares sí.

Es el mismo error que «o me toca la lotería o no: 50 %». El práctico tiene un ejercicio para discutir con razonamientos así.

Notas · 11

Con 10 tiradas, la proporción de sietes va de 0 % a 20 %; con 10.000, de 15,9 % a 17,4 %. Es la ley de los grandes números.

Lo que la ley no dice es que los resultados se compensen: si en una serie salieron pocos sietes, en la siguiente no tienen por qué salir más. Las rachas no se corrigen, se diluyen entre muchísimas tiradas.

La definición frecuencial sirve donde la clásica no llega: un dado cargado, la probabilidad de que un recién nacido sea varón, la de que un paciente responda a un tratamiento.

Notas · 12

No compiten: cada una sirve en un terreno. Las tres cumplen las mismas reglas, que son las de la diapositiva siguiente.

La subjetiva no es cualquier cosa: una persona coherente no puede asignar probabilidades que violen las reglas, porque se le podría armar una apuesta en la que pierde siempre.

Notas · 13

Las tres primeras son los axiomas de Kolmogorov (1933): todo lo demás se deduce de ellas. La del complemento sale de las dos últimas, porque A y Ā son excluyentes y juntos forman Ω.

El complemento es el atajo más útil: «al menos uno» suele ser más fácil de calcular como 1 − P(ninguno).

Notas · 15

Elegir una persona al azar hace que las 1.134 sean igualmente probables, y entonces cada probabilidad es casos favorables sobre casos posibles: se cuenta en la tabla.

Llamemos M a «mujer», O a «ocupada» y D a «desocupada». Inactiva es quien no trabaja ni busca trabajo: estudiantes, jubilados, quienes se ocupan de su casa.

Notas · 16

Contando: activos son los ocupados más los desocupados, 656 de 1.134. La suma funciona porque ninguna persona se cuenta dos veces.

Notas · 17

Una probabilidad no puede pasar de 1. Mujer y ocupada no son excluyentes: las 284 mujeres ocupadas se contaron dos veces, una entre las mujeres y otra entre los ocupados. Hay que restarlas una vez.

Notas · 18

Si A y B son excluyentes, P(A ∩ B) = 0 y la regla general se reduce a la de los axiomas.

La tercera tarjeta es el control: el complemento de «mujer u ocupada» es «varón y no ocupado».

Notas · 20

Condicionar es achicar el espacio muestral: si se sabe que la persona elegida es mujer, las posibles ya no son todas, son las mujeres. En la tabla, es leer una sola fila.

Con la fórmula: P(O | M) = P(O ∩ M) / P(M) = 0,250 / 0,522 = 0,480.

Notas · 21

No. P(M | inactiva) = 299 / 478 = 62,6 %: de cada 100 inactivos, unos 63 son mujeres. P(inactiva | M) = 299 / 592 = 50,5 %: la mitad de las mujeres es inactiva.

El numerador es el mismo; cambia el total por el que se divide. Confundir P(A | B) con P(B | A) es el error más común con probabilidades, y es el de la mamografía del principio.

Notas · 22

En la tabla se ve sin la fórmula: P(O | M) = 48,0 % no es P(O) = 55,6 %. Que no sean independientes en la muestra es una descripción; si lo son en la población es una pregunta de inferencia, y se responde con la prueba chi cuadrado de la unidad 5.

Notas · 23

Es la definición de probabilidad condicional despejada. Se lee como un recorrido: primero ocurre A, y después B sabiendo que ocurrió A.

Con poblaciones grandes, sacar con o sin reposición casi no cambia nada: por eso en una encuesta se suele tratar a las personas elegidas como independientes.

Notas · 24

Es una confusión frecuente en los parciales. Excluyentes es una propiedad de los conjuntos (no se tocan); independientes, de las probabilidades. Saber que alguien está ocupado dice todo sobre si está desocupado: que no.

Notas · 26

Las probabilidades que salen de un mismo nodo suman 1. Recorrer un camino es aplicar la regla del producto: la probabilidad de la hoja «varón y ocupado» es P(V) · P(O | V).

En el práctico los árboles se arman al revés: con las probabilidades de las ramas como dato, para llegar a las hojas.

Notas · 27

Probabilidad total: cuando un evento puede ocurrir por varios caminos excluyentes, su probabilidad es la suma de la de cada camino.

Bayes da vuelta la condicional: el árbol da P(O | M), y Bayes calcula P(M | O), de cada 100 ocupados, cuántos son mujeres. El denominador es la probabilidad total de la tarjeta de al lado.

Notas · 28

Las mamografías positivas son las dos hojas resaltadas: 8 + 95 = 103. De ellas, solo 8 son de mujeres con cáncer.

Pensar en cantidades de personas en lugar de probabilidades —frecuencias naturales— es lo que Gigerenzer y Hoffrage propusieron: con este formato, muchas más personas llegan a la respuesta correcta.

Notas · 29

Volver a la votación del principio. El 80 % es P(+ | cáncer), la sensibilidad; lo que preguntaba era P(cáncer | +). Es el error de dar vuelta la condicional, el mismo de las mujeres y los inactivos.

Por eso un positivo en un tamizaje no es un diagnóstico: se confirma con un estudio más preciso, como una biopsia.

Notas · 30

Con la prevalencia del 1 %, 7,8 %; si la mitad de las personas estuviera enferma, 89,3 %. El mismo resultado positivo significa cosas distintas en un tamizaje de toda la población y en un consultorio al que llegan pacientes con síntomas.

En Bayes, la prevalencia es la probabilidad a priori: lo que se sabía antes de la prueba. La prueba la actualiza, pero no la reemplaza.

Notas · 31

La calculadora de diagnóstico de estadistica.ar hace estas cuentas para cualquier prueba y cualquier prevalencia. El práctico tiene una prueba de tamizaje para resolver a mano, con otros números.

Notas · 32

Para el práctico: calculadora y, para el ejercicio del cumpleaños, R, Python o una planilla.