Construcción de índices sintéticos

1 · Qué son

Un número que resume varios indicadores en una sola medida, para comparar y ordenar unidades: países, provincias, municipios, hospitales, escuelas.

Ejemplos conocidos: el Índice de Desarrollo Humano, los índices de competitividad, los de calidad institucional, los rankings universitarios.

2 · Las cuatro decisiones

1. Qué indicadores incluir. Es la decisión más importante y la menos técnica: lo que no entra, no cuenta.

2. Cómo normalizar.

Método	Efecto
Estandarización z	media 0, desvío 1; sensible a atípicos
Min-max	entre 0 y 1; muy sensible a los extremos
Distancia a un referente	respecto del mejor o de un objetivo
Rangos	robusto; pierde las magnitudes

3. Cómo ponderar.

Método	Comentario
Iguales	el más usado; parece neutral y no lo es
Por expertos	explícito y subjetivo
Estadísticos (PCA)	derivados de los datos
Por objetivos de política	transparente

4. Cómo agregar.

Forma	Propiedad
Suma ponderada	permite compensación total entre dimensiones
Media geométrica	compensación limitada: penaliza el desbalance
Mínimo	sin compensación: manda la peor dimensión

3 · Ponderar igual no es neutral

Un índice de bienestar socioeconómico con ocho indicadores y pesos iguales del 12,5 % cada uno. El peso que cada indicador termina teniendo —medido por su correlación con el índice resultante—:

Indicador	Peso nominal	Correlación con el índice	Peso efectivo
Ingreso mediano	12,5 %	+0,795	23,5 %
Ingreso medio	12,5 %	+0,768	22,0 %
No registrados	12,5 %	+0,655	16,0 %
Secundario completo	12,5 %	+0,652	15,8 %
Empleo	12,5 %	+0,558	11,6 %
Actividad	12,5 %	+0,446	7,4 %
Desocupación	12,5 %	+0,228	1,9 %
Gini	12,5 %	+0,216	1,7 %

4 · El índice basado en componentes principales

El primer componente principal es un índice sintético con ponderaciones derivadas de los datos: las cargas.

Ventaja	Límite
Los pesos salen de los datos, no de un juicio	cambian con cada muestra
Maximiza la varianza capturada	las cargas pueden no tener sentido sustantivo
No requiere decidir pesos	el índice no es comparable entre estudios

5 · El análisis de sensibilidad

Es lo que separa un índice serio de uno improvisado: rehacer el índice con decisiones alternativas y ver si el ordenamiento cambia. Hecho sobre los 32 aglomerados, contra el índice base de z más suma:

Variante	Spearman con la base	Movimiento mediano	Movimiento máximo	¿Cambia el top 5?
min-max + suma	0,985	1 puesto	5	sí
Rangos + suma	0,984	1 puesto	5	sí
min-max + geométrica	0,805	3 puestos	17	sí
CP1 del PCA	0,772	3,5 puestos	13	sí

6 · Cuánto vale un puesto

Los indicadores del índice son estimaciones de una encuesta, con su error de muestreo. Remuestreando las personas dentro de cada aglomerado y rehaciendo todo el índice 500 veces:

Aglomerado	Puesto	Intervalo del 90 %
CABA	1	1 a 1
Ushuaia - Río Grande	2	2 a 3
Mar del Plata - Batán	5	4 a 13
Jujuy - Palpalá	10	6 a 16
Gran Córdoba	16	11 a 22
Gran Santa Fe	20	13 a 25
Rawson - Trelew	25	14 a 30
Concordia	32	27 a 32

7 · Los rankings y su letra chica

Las diferencias chicas no son diferencias, y la sección anterior dice cuánto: con 32 unidades y muestras de encuesta, diez puestos entran dentro del error.

El ranking invita a comparaciones que el índice no sostiene. Subir tres puestos puede deberse a que otros bajaron, no a una mejora propia.

8 · Errores frecuentes

• No declarar los indicadores, la normalización, los pesos ni la agregación.
• Ponderar igual sin advertir que es una decisión: acá el indicador más influyente pesa catorce veces el menos influyente.
• Incluir indicadores redundantes. Los tres de ingreso se llevan el 47 % del índice con el 37,5 % nominal.
• Usar suma ponderada cuando la compensación entre dimensiones no es aceptable. Pasar a geométrica mueve unidades diecisiete puestos.
• No hacer análisis de sensibilidad.
• Conformarse con la correlación de Spearman en el análisis de sensibilidad: con 0,985 el top 5 igual cambia.
• Presentar el ranking sin incertidumbre. El intervalo mediano del puesto abarca diez posiciones de treinta y dos.
• Comparar entre años un índice cuyos pesos se recalculan cada vez.

9 · En el software

# R — índice por PCA
Z <- scale(X)
pca <- prcomp(Z)
indice_pca <- pca$x[, 1]

# Índice con pesos fijos, media aritmética y geométrica
pesos <- c(0.3, 0.3, 0.2, 0.2)
indice_arit <- as.vector(Z %*% pesos)
indice_geom <- apply(Xn^pesos, 1, prod)        # sobre datos min-max > 0

# Sensibilidad: la correlación, y después el top
cor(rank(indice_arit), rank(indice_geom), method = "spearman")
head(order(-indice_arit), 5); head(order(-indice_geom), 5)

# El peso efectivo de cada indicador, que no es el nominal
round(cor(Z, indice_arit)^2 / sum(cor(Z, indice_arit)^2), 3)

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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