Escalamiento multidimensional

1 · La idea

Dada una matriz de distancias entre objetos, ubicarlos en un espacio de pocas dimensiones de modo que las distancias del mapa reproduzcan lo mejor posible las originales.

Hecho con los 32 aglomerados

Se toman los centroides de los 32 aglomerados de la EPH, se calculan sus 496 distancias —la más larga, 3.355 km entre Jujuy y Ushuaia— y se le entrega al MDS solo esa tabla de números, sin ninguna coordenada.

2 · Para qué sirve

Cuando el dato original son distancias o similitudes, no una matriz de casos por variables:

• Percepción de similitud entre marcas o productos.
• Distancias genéticas entre poblaciones.
• Similitud entre textos o documentos.
• Correlaciones convertidas en distancias.
• Matrices de confusión: qué estímulos se confunden entre sí.

3 · Sus dos versiones

Versión	Qué preserva	Cuándo
Clásico o métrico	los valores de las distancias	distancias cuantitativas reales
No métrico (Kruskal)	solo el orden de las distancias	datos ordinales o de percepción

El no métrico es el que aporta algo distinto: solo exige que el orden de las distancias se respete, lo que lo hace apropiado para juicios subjetivos de similitud.

4 · El estrés

Mide cuánto se aparta el mapa de las distancias originales:

$$\text{Estrés} = \sqrt{\frac{\sum (d_{ij} - \hat{d}_{ij})^2}{\sum d_{ij}^2}}$$

Estrés	Ajuste
< 0,05	excelente
0,05 – 0,10	bueno
0,10 – 0,20	aceptable
> 0,20	pobre: el mapa no representa los datos

La tabla funciona, salvo con muy pocos puntos

Estrés al forzar en dos dimensiones datos que son ruido de diez dimensiones —o sea, sin ninguna estructura bidimensional que encontrar—:

$n$	Estrés medio	Veredicto de la tabla
5	0,134	aceptable
7	0,183	aceptable
8	0,192	aceptable
10	0,216	pobre
20	0,268	pobre
40	0,298	pobre

5 · Cómo se lee el mapa

Solo importan las distancias relativas. Los ejes no tienen significado propio: el mapa se puede rotar, reflejar o trasladar sin cambiar nada.

Lo que sí se interpreta: qué objetos quedan cerca, qué agrupamientos aparecen y si hay alguna dirección con sentido sustantivo.

6 · MDS, PCA y correspondencias

Técnica	Punto de partida	Ejes interpretables
PCA	casos × variables cuantitativas	sí
MDS	matriz de distancias	no
Correspondencias	tabla de contingencia	parcialmente

Las tres producen mapas de dos dimensiones y responden preguntas distintas según qué datos haya disponibles.

7 · Errores frecuentes

• Interpretar los ejes como si fueran dimensiones con significado.
• Ignorar el estrés y leer un mapa que no ajusta.
• Leer el estrés con la tabla de Kruskal cuando hay pocos objetos. Con ocho o menos, el ruido puro también da “aceptable”.
• Usar dos dimensiones por defecto cuando hacen falta más.
• Aplicar MDS métrico a juicios subjetivos de similitud.
• Comparar mapas de distintos análisis sin alinearlos: la orientación es arbitraria.
• Presentarlo como una técnica distinta del PCA cuando se lo corre sobre distancias euclídeas: es el mismo cálculo.
• Olvidar que las distancias tienen que estar bien construidas: si la matriz de entrada está mal, el mapa también.

8 · En el software

# R
d <- dist(scale(X))

# Clásico (equivale a PCA sobre los datos)
cmd <- cmdscale(d, k = 2, eig = TRUE)
plot(cmd$points); text(cmd$points, labels = nombres)
cmd$eig[1:4] / sum(abs(cmd$eig))        # varianza por dimensión

# No métrico
library(MASS)
nm <- isoMDS(d, k = 2)
nm$stress                                # el estrés, en porcentaje

# El gráfico de Shepard, para evaluar el ajuste
plot(d, dist(nm$points))

# Para comparar dos mapas hay que alinearlos primero
vegan::procrustes(cmd$points, nm$points)

# Python
from sklearn.manifold import MDS
mds = MDS(n_components=2, dissimilarity='precomputed',
          random_state=2026, normalized_stress=False).fit(D)
mds.stress_
mds.embedding_

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