Escalamiento multidimensional

1 · La idea

Dada una matriz de distancias entre objetos, ubicarlos en un espacio de pocas dimensiones de modo que las distancias del mapa reproduzcan lo mejor posible las originales.

2 · Para qué sirve

Cuando el dato original son distancias o similitudes, no una matriz de casos por variables:

• Percepción de similitud entre marcas o productos.
• Distancias genéticas entre poblaciones.
• Similitud entre textos o documentos.
• Correlaciones convertidas en distancias.
• Matrices de confusión: qué estímulos se confunden entre sí.

3 · Sus dos versiones

Versión	Qué preserva	Cuándo
Clásico o métrico	los valores de las distancias	distancias cuantitativas reales
No métrico (Kruskal)	solo el orden de las distancias	datos ordinales o de percepción

El no métrico es el que aporta algo distinto: solo exige que el orden de las distancias se respete, lo que lo hace apropiado para juicios subjetivos de similitud.

4 · El estrés

Mide cuánto se aparta el mapa de las distancias originales:

$$\text{Estrés} = \sqrt{\frac{\sum (d_{ij} - \hat{d}_{ij})^2}{\sum d_{ij}^2}}$$

Estrés	Ajuste
< 0,05	excelente
0,05 – 0,10	bueno
0,10 – 0,20	aceptable
> 0,20	pobre: el mapa no representa los datos

5 · Cómo se lee el mapa

Solo importan las distancias relativas. Los ejes no tienen significado propio: el mapa se puede rotar, reflejar o trasladar sin cambiar nada.

Lo que sí se interpreta: qué objetos quedan cerca, qué agrupamientos aparecen y si hay alguna dirección con sentido sustantivo.

6 · MDS, PCA y correspondencias

Técnica	Punto de partida	Ejes interpretables
PCA	casos × variables cuantitativas	sí
MDS	matriz de distancias	no
Correspondencias	tabla de contingencia	parcialmente

Las tres producen mapas de dos dimensiones y responden preguntas distintas según qué datos haya disponibles.

7 · Errores frecuentes

• Interpretar los ejes como si fueran dimensiones con significado.
• Ignorar el estrés y leer un mapa que no ajusta.
• Usar dos dimensiones por defecto cuando hacen falta más.
• Aplicar MDS métrico a juicios subjetivos de similitud.
• Comparar mapas de distintos análisis sin alinearlos: la orientación es arbitraria.
• Olvidar que las distancias tienen que estar bien construidas: si la matriz de entrada está mal, el mapa también.

8 · En el software

# R
d <- dist(scale(X))

# Clásico (equivale a PCA sobre los datos)
cmd <- cmdscale(d, k = 2, eig = TRUE)
plot(cmd$points); text(cmd$points, labels = nombres)
cmd$eig[1:4] / sum(abs(cmd$eig))        # varianza por dimensión

# No métrico
library(MASS)
nm <- isoMDS(d, k = 2)
nm$stress                                # el estrés, en porcentaje

# El gráfico de Shepard, para evaluar el ajuste
plot(d, dist(nm$points))

# Python
from sklearn.manifold import MDS
mds = MDS(n_components=2, dissimilarity='precomputed',
          random_state=2026).fit(D)
mds.stress_
mds.embedding_

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